문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
조건 속 limh→0[f(x+h)−f(x)]/h는 도함수의 정의 그 자체 = f′(x). 따라서 ‘{x | (그 극한)=3} = {−2, 5}’는 결국 f′(x)=3의 근이 −2와 5라는 뜻으로 읽힌다.
◀ 미분계수 정의극한은 곧바로 f′(x)로 치환한다
f가 최고차항 1인 삼차함수면 f′은 최고차항 3인 이차식이다. f′(x)−3의 두 근이 −2, 5이고 최고차가 3이므로 연립할 것 없이 f′(x)−3 = 3(x+2)(x−5)로 인수분해해 바로 세운다.
◀ 근+최고차가 정해진 이차식은 인수분해로 통째 복원
f′(x)=3(x+2)(x−5)+3 = 3x²−9x−27. 점 (t, f(t))에서 접선 기울기가 g(t)=f′(t)이므로 g(2)=3·4−18−27=−33. −3을 다시 더하는 것만 놓치지 않으면 끝.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : g(t)는 점 (t, f(t))에서의 접선 기울기, 즉 g(t)=f′(t)다. 조건에 나온 정의극한은 f′(x)로 즉시 바꾸고, ‘그 값이 3이 되는 x의 집합이 {−2,5}’는 f′(x)−3=0의 근이 −2,5로 번역한다. f′이 최고차 3인 이차식임을 이용하면 f′(x)−3=3(x+2)(x−5)로 곧장 복원되어 연립이 필요 없다.
실수 포인트 ① : f′(x)의 근이 −2,5라고 오독하는 실수. 실제로는 f′(x)−3=0의 근이다. 상수 −3을 빠뜨리면 답이 완전히 틀어진다.
실수 포인트 ② : 3(x+2)(x−5)를 전개한 뒤 +3을 다시 더하는 것을 잊어 f′(x)=3x²−9x−30에서 멈추는 실수. 올바른 도함수는 3x²−9x−27이다.
실수 포인트 ③ : g(2) 대입 산수의 부호. 3·2²−9·2−27 = 12−18−27 = −33.
정답 : ② (g(2)=−33)