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x=1은 좌극한=우극한이라 극한은 존재하지만, 채워진 점(●)의 함숫값이 그 극한과 달라 불연속(구멍형)이다. x=4는 좌극한≠우극한이라 극한 자체가 없어 불연속(점프형)이다. 불연속에도 두 얼굴이 있으니 ‘극한’과 ‘함숫값’을 항상 따로 확인하라.
◀ 불연속 판정은 극한과 함숫값을 분리해서 본다
미분가능하려면 먼저 연속이어야 하므로 불연속인 x=1, x=4는 자동 탈락. 여기에 그래프가 뾰족하게 꺾이는 x=2(봉우리), x=3(골짜기)는 (좌미분계수)≠(우미분계수)라 또 탈락. 불연속 2 + 뾰족 2 = 4개. 미분불가능 개수는 ‘끊긴 점 + 꺾인 점’을 합치는 게 공식이다.
◀ 미분불가능 = 끊긴 곳 + 꺾인 곳
x²−5x+4=(x−1)(x−4)는 f가 불연속인 x=1, x=4에서 정확히 0이 된다. 불연속점에서 다항식 인수가 0을 만들어주면 좌·우극한이 모두 0으로 붙어 곱이 연속이 된다. ‘불연속점을 0으로 눌러주는 인수가 곱해졌는가’만 확인하면 끝나는 유형이다.
◀ 불연속점을 0으로 막아주면 곱은 연속이 된다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 합답형 네 보기는 각각 극한 존재/불연속 개수/곱함수 연속/미분불가능 개수를 묻는다. 핵심은 그래프의 특이점 x=1, 2, 3, 4를 성질별로 분류하는 것이다. x=1은 극한은 있으나 값이 다름(불연속·미분불가), x=4는 좌≠우(불연속·미분불가), x=2·x=3은 연속이지만 뾰족(미분불가만).
실수 포인트 ① : ㄱ에서 x=1의 극한이 없다고 착각하는 실수. 좌극한=우극한(○의 높이)이라 극한은 존재하고 f(1)만 위쪽 ●에 떨어져 있을 뿐이다 → ㄱ은 거짓.
실수 포인트 ② : ㄴ의 불연속 개수를 미분불가능 개수(4)와 뒤섞는 실수. 불연속은 극한이 깨지거나 값이 어긋나는 x=1, x=4 딱 2개다.
실수 포인트 ③ : ㄷ에서 x²−5x+4의 근을 잘못 잡는 실수. (x−1)(x−4)라 근이 1과 4, 즉 f의 불연속점과 정확히 겹쳐 곱이 실수 전체에서 연속이 된다.
정답 : ④ (ㄴ, ㄷ, ㄹ)