문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
첫 극한은 x→a에서 분자·분모가 둘 다 0이 되는 0/0꼴이다. 이건 곧 두 식 모두 (x−a)를 인수로 갖는다는 신호. 분자 2x²−(3+2a)x+3a=(x−a)(2x−3), 분모 x²−3ax+2a²=(x−a)(x−2a)로 쪼개 약분하면 (2x−3)/(x−2a)만 남는다. 인수분해가 안 보이면 x=a가 근이라는 사실부터 떠올려라.
◀ 0/0꼴의 정체는 '(x−a) 약분하라'는 신호
약분한 (2x−3)/(x−2a)에 x→a를 대입하면 (2a−3)/(a−2a)=(2a−3)/(−a)=1. 이 한 줄이 a에 대한 방정식이다. 2a−3=−a → 3a=3 → a=1. 극한값이 특정 숫자로 주어지면 '대입값 = 그 숫자'를 방정식으로 세우는 습관을 들여라.
◀ 주어진 극한값은 언제나 방정식 재료다
a=1을 넣으면 limx→∞ 5x/(√(2+4x²)−3). 분모·분자를 x로 나누되 루트 안은 x²로 나눠 넣는다(x>0이라 x=√x²). 그러면 분자 5, 분모 √(2/x²+4)−3/x → √4=2가 되어 5/2. √를 x로 나눌 땐 항상 x²를 루트 안에 넣는 게 핵심이다.
◀ 무리식은 'x로 나눠 상수항 죽이기'가 정석
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 극한이 이어달리기다. 첫 극한(0/0꼴)에서 인수분해·약분으로 a를 먼저 확정하고, 그 a를 두 번째 무한대 극한에 대입해 무리식을 x로 나눠 마무리한다. 순서를 지키는 게 전부다.
실수 포인트 ① : a를 안 구한 채 두 번째 극한부터 손대는 실수. 두 번째 식에도 a가 들어 있어 a=1을 먼저 넣어야 계산이 시작된다.
실수 포인트 ② : √(2+4x²)를 x로 나눌 때 루트 밖에서 나눠 버리는 실수. 반드시 x²를 루트 안으로 넣어 √(2/x²+4)로 만들어야 √4=2가 나온다.
실수 포인트 ③ : 분모 인수분해 (x−a)(x−2a)의 부호를 놓쳐 (2a−3)/(a−2a)에서 −a를 +a로 쓰는 실수. −a로 나눠야 a=1이 나온다.
정답 : ⑤ (5/2)