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해설의 ㄴ을 보면 f(0)=3(●)은 한 번도 등장하지 않는다. x→0−도 →2, x→0+도 →2, 오직 접근하는 높이 2만 쓴다. 극한은 그 점의 함숫값이 무엇이든, 점이 채워졌든(●) 비었든(○) 상관없이 다가갈 때의 높이만 본다. f(0)=3은 극한 판정에서 통째로 버리는 정보다.
◀ 함숫값(점)과 극한은 별개 — 극한은 높이만 본다
x=−1에서 왼쪽은 매끈한 곡선이 2로 올라오고, 오른쪽은 삼각형이 1에서 출발한다. 해설 ㄱ의 limx→−1+는 오른쪽 조각(삼각형)만 따라가 1이다. x=1도 왼쪽은 삼각형(→1), 오른쪽은 곡선(→2)으로 갈린다. 부호 +, −는 '어느 조각을 읽을지'를 지정하는 신호다.
◀ +는 오른쪽 조각, −는 왼쪽 조각을 읽는다
해설 ㄴ의 결론은 limx→0−f(x)=limx→0+f(x)=2 → 두 값이 같으므로 limx→0f(x)=2 존재. '극한이 존재하는가'는 좌극한·우극한 두 값을 나란히 놓고 같은지만 보면 끝난다. 여기서도 f(0)=3은 볼 필요가 없다 — 함숫값이 얽히는 건 연속성 문제일 뿐이다.
◀ 좌극한=우극한이면 존재, 함숫값은 무관
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 해설 STEP A처럼 세 보기 모두 '그래프에서 좌·우극한 읽기' 하나로 끝난다. 각 점에서 접근 부호(+, −)가 지정하는 곡선 조각을 따라 그래프가 다가가는 높이만 읽으면 된다. 채워진 점 f(0)=3, f(1)=1 같은 함숫값은 극한 판정에서 전부 무시한다.
실수 포인트 ① (ㄱ) : x=−1의 왼쪽 곡선값 2를 우극한으로 잘못 읽는 실수. limx→−1+는 오른쪽 삼각형 조각을 따라 1이다. (해설: x→−1+일 때 f(x)→1) → limx→−1+f(x)=1 [참]
실수 포인트 ② (ㄴ) : f(0)=3(●)을 보고 극한을 3이라 하거나, '함숫값과 극한이 달라 극한이 없다'고 오판하는 실수. 극한 존재는 오직 좌극한=우극한만 본다. x→0−도 2, x→0+도 2 → limx→0f(x)=2 [참]
실수 포인트 ③ (ㄷ) : 두 극한을 엉뚱한 조각에서 읽는 실수. limx→0+는 삼각형 정점 방향으로 2, limx→1−는 삼각형 오른쪽 변을 따라 내려가 1. 합은 2+1=3 [참] (f(1)=1이나 x→1+의 곡선값 2와 섞지 말 것)
정답 : ⑤ (ㄱ, ㄴ, ㄷ)