“
차집합과 여집합의 관계, 그리고 드모르간의 법칙을 이용한 연산 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 집합 A-Bᶜ을 먼저 간단히 합니다.
– A – Bᶜ = A ∩ (Bᶜ)ᶜ = A∩B
2. 이제 문제는 (A∩B) ∪ (B-A) 를 간단히 하는 것으로 바뀝니다.
3. 벤 다이어그램을 그려보면, (A와 B의 교집합 영역)과 (B에만 속하는 영역)을 합치는 것이므로, 결과적으로 **집합 B**가 됩니다.
주의할 점:
복잡한 집합 연산은 벤 다이어그램을 그려 각 부분이 나타내는 영역을 색칠해보는 것이 가장 직관적이고 실수가 적습니다.
”
차집합과 여집합, 드모르간의 법칙 이해
“
교집합, 합집합, 여집합, 차집합의 기본 연산에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) A-B=∅ 이면, A는 B에 포함됩니다 (A⊂B).
2. (ㄴ) 벤 다이어그램을 그려보면, A∩Bᶜ = A-B 이고, B∩Aᶜ = B-A 입니다. 두 영역은 일반적으로 같지 않습니다.
3. (ㄷ) (A∪B) – A = (A∪B) ∩ Aᶜ = (A∩Aᶜ) ∪ (B∩Aᶜ) = ∅ ∪ (B-A) = B-A 입니다.
4. (ㄹ) A-Bᶜ = A ∩ (Bᶜ)ᶜ = A∩B 입니다.
주의할 점:
각 보기의 연산을 벤 다이어그램으로 그리거나, 연산 법칙(A-B = A∩Bᶜ)을 이용하여 대수적으로 변환하여 참/거짓을 판별합니다.
”
집합의 기본 연산 법칙 참/거짓 판별하기
“
집합의 연산 법칙(분배법칙, 드모르간의 법칙 등)과 포함 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. A⊂B 라는 포함 관계는 A-B=∅, A∩B=A, A∪B=B 등과 동치입니다.
2. 주어진 조건 (A∪B) ∩ (A-B)ᶜ = B 를 집합의 연산 법칙을 이용해 간단히 합니다.
– (A-B)ᶜ = (A∩Bᶜ)ᶜ = Aᶜ∪B
– (A∪B) ∩ (Aᶜ∪B) = (A∩Aᶜ) ∪ B = ∅ ∪ B = B
3. 주어진 식이 항상 성립하는 항등식임을 알 수 있습니다. 따라서 이 식만으로는 A와 B의 관계를 알 수 없습니다. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A-B=∅로 유도함)
주의할 점:
해설 기준으로는, 주어진 식을 변형하여 A⊂B와 동치인 관계를 이끌어내고, 이를 만족하지 않는 보기를 찾는 문제입니다.
”
집합 연산 법칙과 포함 관계 이해하기
“
세 집합 사이의 교집합, 차집합 연산에 대한 진위 판별 문제입니다. 벤 다이어그램을 활용하면 편리합니다.
접근법:
1. 세 집합 A, B, C의 관계를 나타내는 일반적인 벤 다이어그램을 그립니다.
2. 각 보기의 좌변과 우변이 나타내는 영역을 벤 다이어그램에 각각 색칠해 봅니다.
3. 두 영역이 일치하는지를 시각적으로 확인하여 참/거짓을 판별합니다.
– (ㄱ) (A-B)-C 와 A-(B∪C) 가 같은 영역인지 확인합니다.
– (ㄴ) A-(B-C) 와 (A-B)∪(A∩C) 가 같은 영역인지 확인합니다.
주의할 점:
차집합은 교집합과 여집합으로 변환(A-B = A∩Bᶜ)하여 대수적으로 증명할 수도 있지만, 벤 다이어그램을 이용하는 것이 더 직관적입니다.
”
세 집합의 연산 법칙 참/거짓 판별하기
“
서로소인 두 집합의 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 집합 A와 B가 서로소라는 것은 **A∩B = ∅**, 즉 공통된 원소가 하나도 없다는 의미입니다.
2. 집합 A의 원소는 {1, 2, 3, 4} 입니다.
3. 집합 B는 k-3 ≤ x ≤ k+1 을 만족하는 정수입니다.
4. B가 A의 원소를 하나도 포함하지 않도록 수직선 위에 범위를 설정합니다.
– (경우 1) B의 범위가 A의 가장 작은 원소 1보다 작아야 합니다. (k+1 – (경우 2) B의 범위가 A의 가장 큰 원소 4보다 커야 합니다. (k-3 > 4)
5. 두 경우를 만족하는 k의 범위를 각각 구하고, 정수 k의 최댓값과 최솟값을 찾습니다.
주의할 점:
수직선을 이용하여 두 집합의 위치 관계를 시각적으로 파악하면 부등식을 세우기 용이합니다.
”
두 집합이 서로소일 조건으로 미지수 범위 찾기
“
차집합(A-B)과 교집합의 정보를 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A-B = {-1, 2} 이므로, -1과 2는 A에는 속하지만 B에는 속하지 않습니다.
2. A∩B = {0} 이므로, 0은 A와 B 모두에 속합니다.
3. 1, 2번 정보로부터 집합 A = {-1, 2, 0} 임을 알 수 있습니다.
4. 주어진 A = {-1, a-b, 2}와 비교하여 a-b=0, 즉 a=b 라는 관계식을 얻습니다.
5. 집합 B = {0, b-a, 2a-b} 입니다. -1과 2는 B에 속하지 않아야 합니다. 이 조건을 이용해 a, b값을 확정하고 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
각 집합 연산의 정의를 정확히 이해하고, 이를 통해 원소의 소속(포함/불포함)을 논리적으로 추론해야 합니다.
”
차집합과 교집합 정보로 미지수 값 찾기
“
합집합과 교집합의 정보를 이용해 원래 집합을 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. A∩B={-3, 2} 이므로, -3과 2는 A와 B 모두의 원소입니다.
2. A∪B={-3, -1, 0, 2, 4} 이므로, A와 B의 원소는 이 5개 안에서만 구성됩니다.
3. A-B = (A∪B) – B 입니다. 따라서 B의 모든 원소의 합이 2라는 조건을 이용해 B를 먼저 확정해야 합니다.
4. B는 -3과 2를 반드시 포함하므로, 나머지 원소들의 합이 2 – (-3+2) = 3이 되어야 합니다. 합집합의 남은 원소 {-1, 0, 4} 중에서 합이 3이 되는 조합은 {-1, 4} 입니다.
5. 따라서 B = {-3, 2, -1, 4} 입니다.
6. A-B = (A∪B) – B = {0} 이므로, A-B의 원소의 합은 0입니다.
주의할 점:
S(A∪B) = S(A) + S(B) – S(A∩B) 공식을 활용하거나, 벤 다이어그램을 그려 각 영역의 원소를 추론하는 방식으로 풀 수 있습니다.
”
합집합과 교집합 원소 합으로 집합 추론하기
“
두 집합의 교집합과 차집합의 정보가 주어졌을 때, 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A∩B = {-2, 1} 이므로, -2와 1은 A와 B 모두의 원소입니다.
2. B-A = {3} 이므로, 3은 B의 원소이지만 A의 원소는 아닙니다.
3. 위의 정보들을 종합하면, 집합 B의 모든 원소를 알 수 있습니다. B = {-2, 1, 3}.
4. 집합 B={-2, 1, a} 와 비교하여 a값을 구합니다.
5. 이제 집합 A={-2, b, 1}과 B={-2, 1, 3}의 관계를 봅니다. 3은 A의 원소가 아니므로, b는 3이 될 수 없습니다. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 b가 A의 다른 원소를 나타냄)
주의할 점:
벤 다이어그램을 그려 교집합 영역에 {-2, 1}, B-A 영역에 {3}을 채워 넣으면 집합 B를 쉽게 확정할 수 있습니다.
”
교집합과 차집합 정보로 집합 원소 구하기
“
합집합과 교집합의 원소 합이 주어졌을 때, 각 집합의 원소 합을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합의 원소 합에 대한 중요한 공식 **S(A∪B) = S(A) + S(B) – S(A∩B)** 를 이용합니다.
2. 문제에서 S(A∪B) = 32, S(A∩B) = 6 이라고 주어졌습니다.
3. 공식에 값을 대입하면 S(A) + S(B) = 32 + 6 = 38 이라는 관계식을 얻을 수 있습니다.
4. S(A)와 S(B)를 각각 구하는 것이 아니라, 두 값의 합을 묻고 있으므로 38이 답이 됩니다.
주의할 점:
원소의 개수에 대한 공식 n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) 와 동일한 구조가 원소의 합에도 적용된다는 점을 기억하는 것이 중요합니다.
”
합집합과 교집합 원소 합의 관계 이해하기
“
대칭차집합(A△B)을 구하는 문제입니다. 대칭차집합은 합집합에서 교집합을 뺀 것과 같습니다.
접근법:
1. 두 집합 A와 B를 각각 원소나열법으로 나타냅니다.
– A: 12 이하의 3의 양의 배수
– B: 12 이하의 소수
2. 두 집합의 합집합(A∪B)과 교집합(A∩B)을 각각 구합니다.
3. 대칭차집합은 (A∪B) – (A∩B) 입니다. 합집합에서 교집합의 원소를 제외한 나머지 원소들을 모두 나열합니다.
4. 모든 원소의 합을 계산합니다.
주의할 점:
대칭차집합은 (A-B)∪(B-A)로도 계산할 수 있습니다. 두 가지 정의를 모두 알아두면 편리합니다.
”
대칭차집합의 모든 원소의 합 구하기
