“
대칭차집합의 성질에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) A△B = (A∪B)-(A∩B), B△A = (B∪A)-(B∩A). 합집합과 교집합은 교환법칙이 성립하므로 두 식은 같습니다.
2. (ㄴ) (A△B)△A = ((A∪B)-(A∩B))△A. 벤 다이어그램을 그려보면 이 영역이 B와 같아짐을 확인할 수 있습니다.
3. (ㄷ) A△B = ∅ 이면, (A∪B) = (A∩B) 입니다. 이는 A=B일 때만 성립합니다.
주의할 점:
대칭차집합의 여러 성질들 (A△A=∅, A△∅=A, A△U=Aᶜ, (A△B)△A=B 등)을 암기해두면 문제 풀이 시간을 단축할 수 있습니다.
”
두 집합이 서로소일 때의 성질 찾기
“
새로운 연산(☆)을 정의하고, 그 연산의 성질을 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. 새로운 연산 A☆B = (A-B)∪(B-A)는 **대칭차집합**의 정의와 같습니다.
2. 대칭차집합은 교환법칙(A☆B = B☆A)과 결합법칙((A☆B)☆C = A☆(B☆C))이 성립합니다.
3. 각 보기의 연산을 대칭차집합의 성질을 이용해 간단히 합니다.
– ① A☆A = (A-A)∪(A-A) = ∅∪∅ = ∅
– ② A☆∅ = (A-∅)∪(∅-A) = A∪∅ = A
– ③ A☆U = (A-U)∪(U-A) = ∅∪Aᶜ = Aᶜ
주의할 점:
새로운 연산이 나오면, 그것이 기존에 알고 있던 연산(교집합, 합집합, 대칭차집합 등)과 어떤 관련이 있는지 먼저 파악하는 것이 중요합니다.
”
새로운 연산의 교환법칙, 결합법칙 확인하기
“
주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. (Aᶜ∪B)ᶜ = B 를 간단히 합니다.
– 드모르간의 법칙: (Aᶜ∪B)ᶜ = (Aᶜ)ᶜ ∩ Bᶜ = A∩Bᶜ = A-B
2. 따라서 주어진 식은 **A-B = B** 와 같습니다.
3. A-B는 A에만 속하는 원소들의 집합이고, B는 B에 속하는 원소들의 집합입니다. 이 둘이 같으려면 두 집합 모두 **공집합(∅)**이 되어야 합니다.
4. A-B=∅ 이므로 A⊂B 이고, B=∅ 이므로 A⊂∅ 입니다. 이를 만족하는 A는 ∅ 뿐입니다.
5. 따라서 **A=B=∅** 입니다. 이 관계와 항상 동치인 것을 찾습니다.
주의할 점:
A-B=B와 같이, 한쪽은 차집합인데 다른 쪽은 원래 집합이 나오는 특수한 관계는 두 집합이 공집합인 경우를 강하게 시사합니다.
”
대칭차집합의 성질 참/거짓 판별하기
“
차집합과 합집합의 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. A-(A-B)를 먼저 간단히 합니다.
– A-(A∩Bᶜ) = A∩(A∩Bᶜ)ᶜ = A∩(Aᶜ∪B) = (A∩Aᶜ)∪(A∩B) = ∅∪(A∩B) = A∩B
2. 이제 문제는 (A∩B)∪B 입니다.
3. 벤 다이어그램을 그려보면, (A와 B의 교집합 영역)과 (B 전체 영역)의 합집합은 **집합 B**가 됩니다. (흡수법칙)
주의할 점:
집합 연산 문제를 풀 때는, 복잡한 부분부터 차근차근 간단히 만들어 나가는 것이 좋습니다.
”
새로운 연산(대칭차집합)의 성질 파악하기
“
주어진 연산 관계식 (A-B)∪(A-C)=∅ 이 의미하는 바를 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 집합의 합집합이 공집합(∅)이 되려면, 두 집합이 **모두 공집합**이어야 합니다.
2. 따라서, **A-B=∅** 이고 동시에 **A-C=∅** 이어야 합니다.
3. A-B=∅는 A가 B의 부분집합(A⊂B)임을 의미합니다.
4. A-C=∅는 A가 C의 부분집합(A⊂C)임을 의미합니다.
5. 즉, A는 B와 C의 **공통 부분집합**입니다. A ⊂ (B∩C).
6. 이 관계를 나타내는 벤 다이어그램을 찾습니다.
주의할 점:
X∪Y=∅ 이면 X=∅ 이고 Y=∅ 라는 성질은 집합 연산에서 매우 중요하게 사용됩니다.
”
두 집합이 모두 공집합이 될 조건 찾기
“
804번 문제와 동일하게, 주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계를 파악하고, 이를 이용해 항상 성립하는 다른 관계를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A∪X=X 라는 조건은 **A가 X의 부분집합(A⊂X)**임을 의미합니다.
2. B∩X=X 라는 조건은 **X가 B의 부분집합(X⊂B)**임을 의미합니다.
3. 두 조건을 종합하면, **A ⊂ X ⊂ B** 라는 포함 관계가 성립합니다.
4. 이 관계로부터 항상 참인 보기를 찾습니다. A⊂X⊂B 이므로, 당연히 **A⊂B**가 성립합니다.
주의할 점:
흡수법칙(A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A)과 포함 관계의 동치 표현을 정확히 이해하고 있어야 합니다.
”
주어진 관계식과 동치인 포함 관계 이해하기
“
특정 집합 연산의 결과를 이용하여 다른 집합 연산의 결과를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. A∩B=A 라는 조건은, **A가 B의 부분집합(A⊂B)**임을 의미합니다.
2. 이 포함 관계를 만족하는 벤 다이어그램을 그립니다. (A가 B 안에 포함된 그림)
3. 각 보기의 집합 연산을 벤 다이어그램을 이용해 확인합니다.
– ① A∪B = B
– ② A-B = ∅
– ③ Bᶜ ⊂ Aᶜ (대우 관계)
– ④ A∩Bᶜ = A-B = ∅
주의할 점:
A⊂B와 동치인 여러 표현(A∩B=A, A∪B=B, A-B=∅, Bᶜ⊂Aᶜ)을 반드시 암기해야 합니다.
”
주어진 관계식과 동치인 포함 관계 찾기
“
주어진 집합 연산이 나타내는 벤 다이어그램 영역을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (A∪B): A와 B의 전체 영역을 생각합니다.
2. (A∩B): A와 B의 공통 영역을 생각합니다.
3. (A∪B) ∩ (A∩B)ᶜ : (A∪B)에서 (A∩B)를 제외한 영역입니다.
4. 이는 **대칭차집합**을 의미하며, A에만 속하는 부분과 B에만 속하는 부분의 합집합입니다.
5. 보기의 벤 다이어그램 중에서 이 영역을 나타내는 것을 찾습니다.
주의할 점:
(A∪B) ∩ (A∩B)ᶜ = (A∪B) – (A∩B) = A△B 라는 관계를 이해하고 있어야 합니다.
”
대칭차집합을 나타내는 벤 다이어그램 찾기
“
801번 문제와 동일하게, 집합의 연산 법칙의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) 벤 다이어그램을 그려 A∪(A∩B)가 나타내는 영역을 확인하면, A가 됨을 알 수 있습니다. (흡수법칙)
2. (ㄴ) B-Aᶜ = B∩(Aᶜ)ᶜ = B∩A = A∩B 입니다.
3. (ㄷ) A-(B∪C) = A∩(B∪C)ᶜ = A∩(Bᶜ∩Cᶜ) = (A∩Bᶜ)∩Cᶜ = (A-B)-C 입니다.
4. (ㄹ) 드모르간의 법칙 (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ 입니다.
주의할 점:
자주 사용되는 연산 법칙들은 벤 다이어그램 없이도 빠르게 변환할 수 있도록 숙달하는 것이 좋습니다.
”
집합의 연산 법칙 참/거짓 판별하기
“
집합의 연산 법칙에 대한 종합적인 이해를 묻는 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) 차집합을 교집합과 여집합으로 바꾸고 결합법칙을 적용하여 좌변과 우변이 같은지 확인합니다.
2. (ㄴ) 드모르간의 법칙 (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ 을 이용하면 참임을 알 수 있습니다.
3. (ㄷ) 벤 다이어그램을 그려보면 (A-B)∪(A∩B) = A 임을 쉽게 알 수 있습니다.
4. (ㄹ) (A-B)∩(B-A)는 (A에만 속하는 것)과 (B에만 속하는 것)의 교집합이므로 항상 공집합(∅)입니다.
주의할 점:
기본적인 연산 법칙(교환, 결합, 분배, 드모르간)과 차집합, 여집합의 정의를 정확하게 암기하고 있어야 합니다.
”
집합의 연산 법칙 종합적으로 판별하기
