“
약수 집합의 대칭차집합의 원소 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. n(A△B) = n(A∪B) – n(A∩B) = n(A) + n(B) – 2n(A∩B) 공식을 이용합니다.
2. n(A): 12의 약수의 개수를 구합니다.
3. n(B): 16의 약수의 개수를 구합니다.
4. n(A∩B): 12와 16의 공약수, 즉 최대공약수 4의 약수의 개수를 구합니다.
5. 공식에 값을 대입하여 계산합니다.
주의할 점:
약수의 개수는 소인수분해를 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다. 대칭차집합의 원소 개수 공식을 정확히 암기하고 있어야 합니다.
”
약수 집합의 대칭차집합 원소 개수 구하기
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배수 집합의 합집합과 분배법칙을 이용하는 문제입니다. 845번과 유사합니다.
접근법:
1. (A₂∪A₄) ∩ (A₃∪A₆) 을 계산합니다.
2. A₄ ⊂ A₂ 이므로, A₂∪A₄ = A₂ 입니다.
3. A₆ ⊂ A₃ 이므로, A₃∪A₆ = A₃ 입니다.
4. 따라서 주어진 식은 A₂ ∩ A₃ 입니다.
5. 2와 3의 공배수는 6의 배수이므로, A₂∩A₃ = A₆ 입니다.
6. A₆의 원소 중 100 이하의 자연수의 개수를 셉니다. (100 ÷ 6)
주의할 점:
두 집합의 포함 관계를 이용하면 복잡한 분배법칙 없이도 식을 간단하게 만들 수 있습니다.
”
배수 집합의 합집합과 교집합 포함 관계 이해하기
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배수 집합의 합집합과 분배법칙을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 (A₄∪A₆) ∩ (A₃∪A₁₂)를 분배법칙을 이용해 전개할 수 있으나, 더 복잡해집니다.
2. 각 괄호 안의 포함 관계를 먼저 확인합니다.
– A₆ ⊂ A₃ 이므로, A₃∪A₆ = A₃ 입니다.
– A₁₂ ⊂ A₄ 이므로, A₄∪A₁₂ = A₄ 입니다.
3. 따라서 주어진 식은 A₄ ∩ A₃ 로 간단해집니다.
4. 4와 3의 공배수는 12의 배수와 같으므로, A₄∩A₃ = A₁₂ 입니다. n=12.
주의할 점:
합집합을 계산하기 전에, 두 배수 집합 사이에 포함 관계가 성립하는지(한 수가 다른 수의 약수인지) 먼저 확인하면 식을 간단히 할 수 있습니다.
”
원소가 미지수로 이루어진 집합과 두 집합의 원소 일부 또는 전체를 포함하는 집합
“
배수 집합과 약수 집합의 성질을 종합적으로 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: Aₙ은 n의 배수 집합입니다. A₂∩A₃는 2와 3의 공배수, 즉 6의 배수 집합(A₆)입니다. 따라서 A₆ ⊂ Aₖ 이려면, k는 6의 약수여야 합니다.
2. (나) 조건: Bₙ은 n의 약수 집합입니다. B₁₂∩B₁₈은 12와 18의 공약수, 즉 최대공약수 6의 약수 집합(B₆)입니다. B₆ ∪ Bₖ = B₆ 이려면, Bₖ ⊂ B₆ 이어야 합니다. 이는 k가 6의 약수임을 의미합니다.
3. 두 조건을 모두 만족하는 k는 6의 약수입니다.
주의할 점:
배수 집합에서는 숫자가 작을수록 큰 집합이고(A₂⊃A₄), 약수 집합에서는 숫자가 클수록 큰 집합(B₄⊂B₈)이 되는 경향이 있음을 유의해야 합니다.
”
전체집합과 두집합의 원소중 전체 또는 일부를 포함하는 집합
“
약수 집합의 교집합과 합집합의 성질을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. **(교집합)** Aₘ ∩ Aₙ = Aₖ 는, m의 약수이면서 동시에 n의 약수인 집합, 즉 **m과 n의 공약수**의 집합입니다. k는 m과 n의 **최대공약수**입니다.
2. **(합집합)** Aₘ ∪ Aₙ ⊂ Aₖ 는, m의 약수 또는 n의 약수의 집합이 k의 약수 집합에 포함된다는 의미입니다. 이는 k가 **m과 n의 공배수**일 때 성립합니다.
3. 이 성질들을 이용해 주어진 식을 해석하고, 조건을 만족하는 m의 개수를 셉니다.
주의할 점:
약수 집합은 배수 집합과 교집합, 합집합의 성질이 반대입니다. (교집합↔최대공약수, 합집합↔최소공배수)
”
집합과 각각의 두 집합의 포함관계 합집합 교집합
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배수 집합의 교집합과 합집합의 성질을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. **(교집합)** Aₘ ∩ Aₙ = Aₖ 는, m의 배수이면서 동시에 n의 배수인 집합, 즉 **m과 n의 공배수**의 집합입니다. k는 m과 n의 **최소공배수**입니다.
2. **(합집합)** Aₘ ∪ Aₙ ⊂ Aₖ 는, m의 배수 또는 n의 배수인 집합이 k의 배수 집합에 포함된다는 의미입니다. 이는 k가 **m과 n의 공약수**일 때 성립합니다.
3. 이 성질들을 이용해 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
주의할 점:
배수 집합의 교집합은 최소공배수의 배수 집합, 합집합은 공약수의 배수 집합에 포함된다는 규칙을 명확히 구분해야 합니다.
”
부분집합의 포함관계 교집합 합집합
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주어진 집합 연산이 서로소 관계(A∩B=∅)를 의미함을 파악하고, 이와 동치인 표현을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (A∪B) – (A-B) = B 라는 식을 간단히 합니다.
– (A∪B) ∩ (A∩Bᶜ)ᶜ = B
– (A∪B) ∩ (Aᶜ∪B) = B
– (A∩Aᶜ) ∪ B = B, 즉 ∅∪B = B. 이는 항등식입니다.
2. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A∩B=∅를 유도함)
3. 해설 기준: 주어진 식을 변형하여 A∩B=∅를 이끌어내고, A와 B가 서로소일 때 항상 성립하는 보기를 찾습니다.
주의할 점:
주어진 식이 복잡할수록, 연산 법칙을 이용해 간단히 하거나 벤 다이어그램을 그려서 그 의미를 먼저 파악해야 합니다.
”
약수 집합의 교집합과 합집합의 성질
“
주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계(A⊂B)와 동치인 표현을 모두 고르는 문제입니다.
접근법:
1. A⊂B와 동치인 표현들을 모두 암기하고 있어야 합니다.
– A∩B = A
– A∪B = B
– A-B = ∅
– Bᶜ ⊂ Aᶜ
– A∩Bᶜ = ∅
2. 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이 이 표현들과 일치하는지 확인합니다. (ㄱ, ㄷ, ㄹ은 직접적인 동치 표현, ㄴ은 틀린 표현)
주의할 점:
집합의 포함 관계를 나타내는 여러 동치 표현은 매우 중요하므로 반드시 암기해야 합니다.
”
배수 집합의 교집합과 합집합의 성질
“
주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 A ∪ (A∩B)ᶜ = U 를 간단히 합니다.
2. A ∪ (Aᶜ∪Bᶜ) = U (드모르간)
3. (A∪Aᶜ) ∪ Bᶜ = U ∪ Bᶜ = U
4. 즉, U ∪ Bᶜ = U 가 됩니다. 이 식이 성립하려면 Bᶜ이 U의 부분집합이기만 하면 되므로, 이 식은 항상 성립하는 항등식입니다.
5. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A-B=∅, 즉 A⊂B를 유도함)
주의할 점:
해설 기준: 주어진 식을 변형하여 A-B=∅를 이끌어내고, A⊂B와 동치인 보기를 찾는 문제입니다.
”
주어진 관계가 서로소임을 의미할 때
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포함 관계와 집합 연산에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) A-B = A∩Bᶜ 입니다. A⊂B이면 A∩Bᶜ=∅ 이므로 참입니다.
2. (ㄴ) (반례) A={1}, B={1,2}일 때 A⊂B이지만 B-A={2}≠∅ 입니다.
3. (ㄷ) Bᶜ⊂Aᶜ은 A⊂B의 대우이므로, 두 조건은 동치입니다.
4. (ㄹ) A∪B=B는 A⊂B와 동치입니다.
5. (ㅁ) A∩B=A는 A⊂B와 동치입니다.
주의할 점:
A⊂B와 동치인 여러 가지 표현(A-B=∅, A∪B=B, A∩B=A, Bᶜ⊂Aᶜ)을 모두 암기하고 있어야 합니다.
”
A가 B의 부분집합일 조건 찾기
