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명제 p→q가 거짓임을 보이는 반례를 찾는 문제입니다.
접근법:
명제 ‘p이면 q이다’가 거짓임을 보이는 반례는, **가정 p는 만족하지만(p에 속하지만), 결론 q는 만족하지 않는(q에 속하지 않는)** 원소들의 집합입니다.
이를 집합으로 표현하면 **P-Q** (또는 P∩Qᶜ) 입니다.
주어진 조건 p, q를 만족하는 진리집합 P, Q를 각각 구하고, P-Q에 속하는 원소를 찾습니다.
주의할 점:
반례는 반드시 가정(P)의 원소 중에서 찾아야 합니다. 가정 자체를 만족하지 않는 원소는 반례가 될 수 없습니다.
”
명제가 거짓임을 보이는 반례 찾기 (P-Q)
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‘모든’ 또는 ‘어떤’을 포함하는 명제의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
‘모든’ 명제: 모든 원소가 조건을 만족해야 참입니다. 단 하나의 반례라도 있으면 거짓입니다.
‘어떤’ 명제: 조건을 만족하는 원소가 단 하나라도 있으면 참입니다. 모든 원소가 만족하지 않아야 거짓입니다.
(ㄴ) ‘모든’ 실수 x에 대해 x²≥x 인가? (반례: x=1/2 이면 1/4 (ㄷ) ‘어떤’ 실수 x에 대해 |x|
주의할 점:
‘모든’ 명제의 거짓을 보일 때는 반례를, ‘어떤’ 명제의 참을 보일 때는 성립하는 예를 하나만 찾으면 됩니다.
”
모든’, ‘어떤’ 명제의 참/거짓 판별하기
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‘모든’과 ‘어떤’이 포함된 명제의 부정을 만드는 문제입니다.
접근법:
‘모든’의 부정은 ‘어떤’이 됩니다.
‘~이다’의 부정은 ‘~이 아니다’가 됩니다.
주어진 명제는 ‘모든 실수 x에 대하여 x²-4x+5 > 0 이다’ 이므로, 이 명제의 부정은 ‘어떤 실수 x에 대하여 x²-4x+5 ≤ 0 이다’가 됩니다.
주의할 점:
‘모든’의 부정은 ‘어떤’, ‘어떤’의 부정은 ‘모든’으로 바뀐다는 점과, 서술어 부분도 함께 부정해야 한다는 점을 잊지 말아야 합니다.
”
모든’과 ‘어떤’이 포함된 명제의 부정 만들기
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903번 문제와 동일하게, 부등식과 ‘또는’, ‘그리고’가 포함된 명제의 부정을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 조건: (x ≤ -2) 또는 (x > 3)
2. 각 조건의 부정:
– (x ≤ -2)의 부정은 (x > -2)
– (x > 3)의 부정은 (x ≤ 3)
3. ‘또는’의 부정은 ‘그리고’입니다.
4. 따라서 전체의 부정은 ‘(x > -2) 그리고 (x ≤ 3)’ 이 되며, 이를 하나의 부등식으로 표현하면 -2
주의할 점:
수직선을 그려서 원래 조건의 범위를 표시한 뒤, 그 범위의 ‘여집합’을 구한다고 생각하면 시각적으로 쉽게 이해할 수 있습니다.
”
수직선을 이용한 명제의 부정 범위 구하기
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주어진 명제의 부정을 올바르게 표현한 것을 찾는 문제입니다.
접근법: 주의할 점: ” 또는’과 부등호가 포함된 명제의 부정 구하기
‘~이다’의 부정은 ‘~이 아니다’입니다.
‘또는(or)’의 부정은 ‘그리고(and)’입니다.
‘ 의 부정은 ‘≥’ 입니다.
주어진 명제는 ‘a
부등식의 부정을 만들 때 등호가 포함되는지 여부를 주의 깊게 확인해야 합니다. ‘작다’의 부정은 ‘크거나 같다’입니다.
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주어진 문장이나 식 중에서 명제인 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
각 보기가 변수의 값이나 주관적인 판단에 관계없이 항상 참 또는 거짓으로 결정되는지 확인합니다.
(ㄱ) 소수 2는 짝수이므로 ‘모든 소수는 홀수이다’는 명백히 거짓인 명제입니다.
(ㄴ) x값에 따라 참/거짓이 바뀌므로 ‘조건’입니다.
(ㄷ) ‘가까운’의 기준이 불분명하므로 명제가 아닙니다.
(ㄹ) x+3=7 이라는 방정식은 x=4일 때만 참이므로 ‘조건’입니다.
(ㅁ) 삼각형 내각의 합은 항상 180도이므로, ‘160도이다’는 거짓인 명제입니다.
주의할 점:
수학적 정의나 정리(소수, 삼각형 내각의 합 등)에 위배되는 문장은 ‘거짓인 명제’가 됩니다.
”
명제가 될 수 있는 조건의 이해 (참/거짓 판별)
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명제와 조건의 차이를 구분하는 기본적인 문제입니다.
접근법:
명제는 참(T) 또는 거짓(F)을 객관적으로 판별할 수 있는 문장이나 식입니다.
반면, 조건은 변수의 값에 따라 참/거짓이 달라지는 문장이나 식입니다.
각 보기를 읽고 참/거짓을 명확하게 판별할 수 있는지 확인합니다.
①, ③, ④, ⑤는 변수 x의 값에 따라 참/거짓이 달라지므로 ‘조건’입니다.
② ‘1+2=4’는 항상 거짓임이 명백하므로 ‘명제’입니다.
주의할 점:
‘거짓인 식’도 명확하게 거짓임이 판별되므로 명제가 될 수 있다는 점을 잊지 말아야 합니다. ‘x는 2의 배수이다’처럼 변수가 있으면 조건, ‘4는 2의 배수이다’처럼 변수가 없으면 명제입니다.
”
부정 명제가 참일 조건 (Pᶜ⊂Q)
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세 집합의 교집합 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] n(A∩B∩C)의 최댓값은 세 집합의 원소 개수 중 가장 작은 값, **min(n(A),n(B),n(C))** 입니다.
2. [2단계] n(A∩B∩C)의 최솟값은 **n(A)+n(B)+n(C) – [n(A∪B)+n(A∪C)] + n(A∪B∪C)** 등 복잡한 부등식을 이용하거나, **벤 다이어그램의 각 영역이 0 이상**이라는 조건을 이용해 구합니다. 가장 일반적인 최솟값 공식은 n(A)+n(B)+n(C) – n(A∩B) – n(B∩C) – n(C∩A) + n(A∩B∩C) = n(A∪B∪C) ≤ n(U) 임을 활용합니다.
3. [3단계] 이 문제에서는 n(A∩B), n(B∩C), n(C∩A)의 정보가 있으므로, **n(A∩B∩C) ≥ n(A∩B)+n(A∩C)-n(A)** 등의 부등식을 활용하여 최솟값의 범위를 좁힙니다.
4. 최댓값과 최솟값을 찾아 합을 구합니다.
주의할 점:
세 집합 교집합의 최솟값은 조건에 따라 매우 복잡해질 수 있습니다. 벤 다이어그램의 각 영역을 미지수로 설정하고 연립부등식을 푸는 것이 가장 일반적인 방법입니다.
”
진리집합 포함 관계를 이용한 미지수 범위 찾기
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대칭차집합의 원소 합이 주어졌을 때, 미지수를 찾는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 대칭차집합의 원소 합에 대한 공식 **S(A△B) = S(A) + S(B) – 2*S(A∩B)** 를 제시합니다.
2. [2단계] S(A), S(B), A∩B, S(A∩B)를 각각 미지수 k를 포함한 식으로 구합니다.
3. [3단계] 1단계 공식에 모든 식을 대입하여 k에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
823번 문제와 동일한 유형입니다. 공식을 정확히 알고 적용하는 과정을 단계별로 서술해야 합니다.
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명제가 참일 조건과 진리집합 포함 관계 (P⊂Q)
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교집합 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] n(A∩B)의 최댓값(M)을 구합니다. 최댓값은 **min(n(A), n(B))** 입니다.
2. [2단계] n(A∩B)의 최솟값(m)을 구합니다. 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다. (단, 0보다 작으면 0)
3. [3단계] M+m의 값을 계산합니다.
주의할 점:
866, 867번 문제와 동일한 유형입니다. 서술형이므로 최댓값과 최솟값을 구하는 원리를 간략하게 설명해주는 것이 좋습니다.
”
방정식의 해를 이용한 반례 찾기
