고등대수 연산 지수법칙 종합 계산 연습 – 기본 다지기

Step 1. 밑을 2로 통일:  4² = (2²)² = 2⁴,  8 = 2³

Step 3. 2³ × 2⁴ × 2³ = 2³⁺⁴⁺³ = 2¹⁰ = 1024

Step 1. 밑을 3으로 통일:

27^2/3 = (3³)^2/3 = 3² = 9

9^−1/2 = (3²)^−1/2 = 3⁻¹ = 1/3

3 = 3¹

Step 3. 3² × 3⁻¹ ÷ 3¹ = 3^2+(−1)−1 = 3⁰ = 1

분자: (2³ × 3²)² = 2⁶ × 3⁴  (법칙 ③, ④)

분모: (4 × 9)² = (2² × 3²)² = 2⁴ × 3⁴

∴ (2⁶ × 3⁴) ÷ (2⁴ × 3⁴) = 2⁶⁻⁴ × 3⁴⁻⁴ = 2² × 1 = 4

Step 2. 근호를 분수 지수로:

(√2)⁶ = (2^1/2)⁶ = 2³ = 8

(∛3)⁹ = (3^1/3)⁹ = 3³ = 27

6² = (2 × 3)² = 2² × 3²

Step 3. (2³ × 3³) ÷ (2² × 3²) = 2¹ × 3¹ = 6

밑을 2로 통일: 8^x+1 = (2³)^x+1 = 2^3(x+1) = 2^3x+3

밑이 같으므로 지수도 같다:

3x + 3 = 5x − 3  →  6 = 2x  →  x = 3

💡 지수방정식의 기본 원리: 밑 통일 → 지수 비교. 이것이 이 연산 시리즈의 최종 목적지!

3^x+1 − 3^x = 3^x × 3 − 3^x = 3^x(3 − 1) = 2 × 3^x = a

∴ 3^x = a/2

12^x = (4 × 3)^x = 4^x × 3^x  … 여기서 4^x는 구할 수 없으므로

다시 정리: 12^x = (3 × 4)^x = 3^x × 4^x

⚠ 이 문제는 2^x 정보가 추가로 필요합니다. 조건이 부족한 것은 아닌지 확인!

💡 실전에서는 “3^x+1 − 3^x = a, 2^x+1 + 2^x = b” 식으로 조건이 2개 주어집니다. → 마플시너지 67번이 바로 이 유형!

지수법칙 ①, ③ 활용:

2^3a+2b = 2^3a × 2^2b = (2^a)³ × (2^b)²

= 3³ × 5² = 27 × 25 = 675

💡 “2^a = 3″ 같은 조건은 로그 단원에서 a = log₂3으로 연결된다. 지수법칙 연습이 로그의 기초!

Step 1 + 2. 밑을 2로, 근호를 분수 지수로:

8^1/3 = (2³)^1/3 = 2¹

16^−1/4 = (2⁴)^−1/4 = 2⁻¹

(√2)⁻⁴ = (2^1/2)⁻⁴ = 2⁻²

Step 3. 괄호 안: 2¹ × 2⁻¹ = 2⁰ = 1

(2⁰)⁶ = 2⁰ = 1

1 ÷ 2⁻² = 1 × 2² = 4