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d/dx와 ∫는 서로 역연산이라 붙어 있으면 사라진다. 안쪽 d/dx{∫f(x)dx}=f(x), 그 바깥 ∫{d/dx f(x)}dx=f(x)+C. 복잡한 다중 적분·미분식도 안쪽부터 짝지어 지우면 F(x)=f(x)+C 한 줄로 무너진다.
◀ 미분과 적분이 붙으면 계산 없이 소거된다
F(x)=f(x)+C에 x=0을 넣으면 f(0)=010+…+0+1=1이므로 F(0)=1+C=1 → C=0. 따라서 F(x)=x10+x9+…+x+1. 적분상수는 항상 조건 하나로 못을 박아야 식이 완성된다.
◀ 적분상수는 반드시 조건값으로 확정
F(2)=210+29+…+2+1은 초항 1, 공비 2, 항 11개인 등비수열의 합이다. 일일이 더하지 말고 S=(211−1)/(2−1)=211−1=2047. 211=2048만 외워두면 한 줄에 끝난다.
◀ 이 문제의 출제 포인트 — 역연산 소거 + 등비합
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 적분과 미분이 겹겹이 쌓인 식은 안쪽부터 짝지어 소거하는 게 핵심이다. d/dx와 ∫는 역연산이라 붙어 있으면 계산 없이 사라진다. d/dx{∫f(x)dx}=f(x), ∫{d/dx f(x)}dx=f(x)+C이므로 아무리 복잡해 보여도 F(x)=f(x)+C로 정리된다. F(0)=1에서 f(0)=1이므로 C=0, 따라서 F(x)=f(x). F(2)=210+…+2+1은 초항 1, 공비 2, 항 11개인 등비수열의 합으로 (211−1)/(2−1)=2047이다.
실수 포인트 ① : 적분·미분 순서에 겁먹어 f를 실제로 적분하고 미분하며 계산하는 실수. 역연산이므로 계산이 필요 없이 소거된다.
실수 포인트 ② : 적분상수 C를 빠뜨리고 곧장 F(x)=f(x)로 단정하는 실수. F(0)=1 조건으로 C=0임을 확인해야 논리가 완성된다.
실수 포인트 ③ : F(2)를 항마다 일일이 더하다 자리 하나를 틀리는 경우. 211=2048이므로 2048−1=2047, 등비합 공식으로 한 줄에 마무리하라.
정답 : 2047