📌 단원 분석 — 수능 고득점으로 가는 길
‘직선의 방정식’ 단원에서 ‘넓이 분할’은 좌표·도형·직선의 식을 한 번에 묶어 묻는 대표 융합 주제입니다. 단순 계산이 아니라 “넓이를 일정 비율로 나누는 직선이 어떤 점을 지나야 하는가”를 추론해야 하므로, 모의고사·내신에서 4점 고난도 자리를 차지합니다.
특히 이 유형(0156번, TOUGH)은 다음 도구들이 한 문제 안에서 연쇄적으로 쓰입니다.
- 넓이의 비 = 밑변의 길이의 비 (높이가 같은 삼각형)
- 선분의 내분점·중점 좌표 (평면좌표 단원의 핵심 도구)
- 두 점을 지나는 직선의 기울기
- 경우 분류(case) 후 최댓값 비교
즉, 한 유형 안에 평면좌표(내분점·중점)와 직선의 방정식이 동시에 들어오는 구조여서, “넓이 등분 → 등분점(내분점) 통과”라는 한 줄 성질을 체화하면 고득점 문항의 절반을 잡을 수 있습니다.
🎯 출제 의도 & 풀이 핵심 맥락
출제 의도 — 삼각형의 넓이를 정해진 비율로 나누는 직선은 “대변(또는 한 변)을 같은 비로 내분하는 점”을 지나야 한다는 성질을 이해하고, 그 점의 좌표를 내분점·중점 공식으로 정확히 구해 기울기를 계산할 수 있는가를 평가합니다.
풀이 핵심 맥락 (흐름만)
- ① 통과점 추론 — 넓이를 일정 비로 나누려면, 직선이 한 변을 그 비대로 내분하는 점을 지나야 합니다(높이가 같으면 넓이비=밑변비).
- ② 경우 분류 — 통과점이 한 가지가 아니라 두 가지(내분 순서가 바뀐 경우)로 나뉩니다. 두 경우를 모두 따져야 합니다.
- ③ 나머지 직선 — 남은 영역을 다시 이등분하는 직선은 변의 중점을 지납니다.
- ④ 기울기 합 비교 — 각 경우의 두 기울기의 합을 구한 뒤 최댓값을 선택합니다.
⚠️ 자주 빠지는 함정 — 통과점을 한 가지만 잡고 끝내면 오답입니다. 내분 비율의 순서가 바뀐 두 경우를 모두 계산한 뒤 큰 값을 골라야 ‘최댓값’을 정확히 구할 수 있습니다.
🔑 풀이에 꼭 필요한 핵심 개념 (클릭 → 이동)
이 문제의 토대는 평면좌표 단원의 좌표 도구입니다. 통과점의 좌표를 정확히 구해야 기울기가 나오므로, 아래 두 공식이 막히면 먼저 복습하세요.
※ 넓이의 비 = 밑변의 길이의 비(높이가 같은 삼각형) 성질은 §5 개념정리에서 이어집니다.
🎬 해설 동영상
아래 해설 이미지로 풀이 흐름을 먼저 확인하세요.
🖼️ 해설 이미지
STEP A 점 P의 위치 → STEP B 경우별 기울기 합 → 최댓값
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개념을 손에 익히는 반복 훈련 — 통과점 좌표 계산이 핵심입니다.