내분점이 사분면 위에 있는 조건 — 좌표 부호 분석과 범위

핵심 정의 · 사분면은 ‘좌표의 부호’로 결정된다

점 P(x, y)가 어느 사분면에 있는지는 오직 x좌표와 y좌표의 부호로 정해집니다. 내분점 문제에서는 ① 내분점의 좌표를 미지수로 나타내고 → ② 목표 사분면의 부호 조건을 부등식으로 세운 뒤 → ③ 공통범위(교집합)를 구합니다.

※ 사분면은 좌표축 위의 점을 포함하지 않으므로 부등호는 항상 등호 없는 부등호(<, >)입니다.

접근 원리 — 부호 조건을 부등식으로

두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 P의 좌표는

P ( (m·x₂ + n·x₁) / (m + n) , (m·y₂ + n·y₁) / (m + n) )

좌표를 미지수 식으로 표현 — 비율이나 좌표에 미지수(t, m, a 등)가 들어 있으면 그대로 대입해 P의 x좌표·y좌표를 미지수에 대한 식으로 정리합니다.
내분 조건부터 확인 — 내분이려면 비율 m : n에서 m > 0, n > 0이어야 합니다. (예: 비율이 (1+t):(1−t)면 1+t > 0, 1−t > 0)
사분면 부호 조건을 부등식으로 — 목표 사분면의 (x좌표 부호), (y좌표 부호)를 각각 부등식으로 세웁니다.
공통범위(교집합) 구하기 — 위에서 얻은 모든 부등식을 수직선 위에 표시해 겹치는 구간을 찾으면 그것이 미지수의 범위입니다.

예제 1 · 내분점이 어느 사분면에 있는지 판별

두 점 A(1, 5), B(7, −1)에 대하여 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 P는 어느 사분면 위에 있는가?

• x좌표 = (2·7 + 1·1) / (2 + 1) = 15 / 3 = 5 > 0

• y좌표 = (2·(−1) + 1·5) / (2 + 1) = 3 / 3 = 1 > 0

x좌표 +, y좌표 + 이므로 점 P는 제1사분면 위의 점이다.

예제 2 · 제1사분면 조건으로 미지수 범위 구하기

두 점 A(2, 3), B(3, −1)에 대하여 선분 AB를 (1 + t) : (1 − t)로 내분하는 점 P가 제1사분면 위에 있도록 하는 실수 t의 값의 범위를 구하여라.

① 내분 조건
1 + t > 0 그리고 1 − t > 0 ⟹ −1 < t < 1

② 내분점 좌표 (분모 = (1+t)+(1−t) = 2)
x = { (1+t)·3 + (1−t)·2 } / 2 = (5 + t) / 2
y = { (1+t)·(−1) + (1−t)·3 } / 2 = (2 − 4t) / 2 = 1 − 2t

③ 제1사분면 부호 조건 (x > 0, y > 0)
x : (5 + t)/2 > 0 ⟹ t > −5 (범위 −1<t<1 안에서 항상 성립)
y : 1 − 2t > 0 ⟹ t < 1/2

④ 공통범위
(−1 < t < 1) ∩ (t < 1/2) ⟹ −1 < t < 1/2

▷ 범위를 −1 < t < 1/2 (즉 a < t < b, a=−1, b=1/2)로 보면 2ab = 2·(−1)·(1/2) = −1.

⚠ 자주 나오는 실수

내분 조건을 빠뜨린다. 비율에 미지수가 있으면 m > 0, n > 0 (예: 1+t > 0, 1−t > 0)을 먼저 챙겨야 범위가 어긋나지 않습니다.
x조건·y조건 중 하나만 본다. 사분면은 두 부호를 동시에 만족해야 하므로 반드시 교집합을 구합니다.
경계에 등호를 붙인다. 축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않으므로 부등호는 등호 없이(<, >) 씁니다.