📌 핵심 — ‘직선 위에 있다’ = ‘좌표를 직선 방정식에 대입한다’
선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 P의 좌표를 먼저 구한 뒤, “P가 직선 위에 있다”는 조건을 만나면 할 일은 단 하나입니다.
내분점 P(x, y)의 좌표를 직선의 방정식에 그대로 대입
점이 어떤 도형 위에 있다는 말은 곧 그 점의 좌표가 도형의 방정식을 만족한다는 뜻이기 때문입니다. 대입하면 미지수에 대한 방정식 하나가 만들어집니다.
⚡ 자주 쓰는 특수 직선: y축 위 → x좌표 = 0, x축 위 → y좌표 = 0, y = x 위 → (x좌표) = (y좌표).
왜 ‘대입’이면 끝날까? — 풀이의 3단계 흐름
1단계 — 내분점의 좌표를 미지수째로 구한다.
두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)와 비율 m : n 중에서 미지수가 있더라도 일단 내분점 공식을 그대로 적용합니다.
P ( (mx₂ + nx₁) / (m+n) , (my₂ + ny₁) / (m+n) )
2단계 — ‘직선 위’ 조건을 방정식으로 번역한다.
점 P가 직선 ax + by + c = 0 위에 있으면, P의 x좌표·y좌표가 이 식을 만족해야 합니다. 즉 1단계에서 구한 좌표를 x, y 자리에 그대로 넣습니다. (y축이면 x = 0, x축이면 y = 0이라는 점도 같은 원리입니다.)
3단계 — 만들어진 방정식을 미지수에 대해 푼다.
대입하면 미지수(좌표값 a, 직선의 상수 k, 또는 내분 비율 m)에 대한 방정식 한 개가 남습니다. 이걸 풀면 답이 나옵니다. 미지수가 좌표 안에 있든 비율 안에 있든 절차는 완전히 같습니다.
적용 예제 ① — 미지수가 ‘좌표’에 있을 때
두 점 A(−5, −1), B(a, 1)에 대하여 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점이 직선 y = x 위에 있을 때, 상수 a의 값을 구하여라.
풀이
① 2 : 1 내분점 P의 좌표를 구합니다.
P의 x좌표 = (2·a + 1·(−5)) / (2+1) = (2a − 5) / 3
P의 y좌표 = (2·1 + 1·(−1)) / (2+1) = (2 − 1) / 3 = 1/3
② P가 직선 y = x 위에 있으므로 (x좌표) = (y좌표):
(2a − 5) / 3 = 1/3 ⟹ 2a − 5 = 1 ⟹ 2a = 6
∴ a = 3
적용 예제 ② — 미지수가 ‘내분 비율’에 있을 때
두 점 A(1, −2), B(3, 4)에 대하여 선분 AB를 m : 1로 내분하는 점이 직선 x + y − 5 = 0 위에 있을 때, 상수 m의 값을 구하여라.
풀이
① m : 1 내분점 P의 좌표를 m을 그대로 둔 채 구합니다.
P의 x좌표 = (m·3 + 1·1) / (m+1) = (3m + 1) / (m+1)
P의 y좌표 = (m·4 + 1·(−2)) / (m+1) = (4m − 2) / (m+1)
② P가 직선 x + y − 5 = 0 위에 있으므로 두 좌표를 대입합니다.
(3m + 1)/(m+1) + (4m − 2)/(m+1) − 5 = 0
(7m − 1)/(m+1) = 5 ⟹ 7m − 1 = 5(m + 1)
7m − 1 = 5m + 5 ⟹ 2m = 6
∴ m = 3
⚠ 자주 나오는 실수
① y축과 x축을 거꾸로 적용 — y축 위 → x좌표 = 0, x축 위 → y좌표 = 0입니다. “y축이니까 y = 0” 하는 순간 답이 어긋납니다.
② 내분점 공식의 비율 교차를 빠뜨림 — m : n 내분에서 분자는 m·x₂ + n·x₁로 비율이 반대쪽 좌표에 곱해집니다. m·x₁로 쓰면 안 됩니다.
③ ‘직선 위’ 조건을 안 쓰고 다른 식을 세움 — 점이 직선 위에 있다는 말은 무조건 좌표를 직선 방정식에 대입한다는 신호입니다. 거리·길이 조건으로 착각하지 마세요.
🔗 함께 보면 좋은 개념정리
▪ 선분의 내분점 공식 — m:n 내분점 좌표 유도부터 적용까지 (이 풀이의 출발점이 되는 기본 공식)
▪ 내분점이 사분면 위에 있는 조건 — 좌표 부호 분석과 범위 (직선 대신 사분면 조건일 때)
▪ 넓이의 비와 내분점 — 두 삼각형 넓이 비로 내분점 위치 구하기 (넓이 조건으로 비율을 찾을 때)
✏️ 이 개념, 직접 풀어볼까요?
좌표를 직선 방정식에 대입하는 과정을 반복하면 손에 익습니다.