넓이의 비와 내분점 — 두 삼각형 넓이 비로 내분점 위치 구하기

📌 핵심 — 넓이의 비가 곧 내분의 비다

점 P가 변 BC 위에 있을 때, 꼭짓점 A를 공유하는 두 삼각형 ABP와 APC를 생각합니다. 두 삼각형은 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변의 비와 같습니다.

(△ABP의 넓이) : (△APC의 넓이) = BP : PC

따라서 넓이의 비가 m : n 이면 BP : PC = m : n 이고, P는 BC를 m : n 으로 내분하는 점입니다. 넓이 조건이 곧바로 내분 비로 번역됩니다.

왜 넓이의 비 = 밑변의 비일까?

1단계 — 두 삼각형이 높이를 공유한다.

점 P가 직선 BC 위에 있으면, 삼각형 ABP와 삼각형 APC는 모두 꼭짓점 A에서 직선 BC에 내린 수선을 높이로 씁니다. 그 수선의 발과 길이 h는 두 삼각형이 똑같이 공유합니다.

2단계 — 넓이 공식을 쓴다.

삼각형의 넓이는 ½ × (밑변) × (높이) 이므로, 두 삼각형의 밑변을 각각 BP, PC로 보면

△ABP = ½ × BP × h , △APC = ½ × PC × h

3단계 — 비를 만들면 ½h가 약분된다.

두 넓이의 비를 만들면 공통인 ½h가 사라지고 밑변 길이만 남습니다.

△ABP : △APC = (½ × BP × h) : (½ × PC × h) = BP : PC

4단계 — 내분점으로 되돌린다.

넓이의 비가 m : n 이면 BP : PC = m : n 이므로, P는 BC를 m : n 으로 내분하는 점입니다. 내분점 공식을 그대로 적용하면

P = ( (n·x_B + m·x_C) / (m+n) , (n·y_B + m·y_C) / (m+n) )

💡 한 줄 요약: “넓이 조건 → 밑변(선분)의 비 → 내분 비”의 3단 번역. 변 위의 점을 묻는 넓이 문제는 결국 내분점 좌표 계산 문제로 바뀝니다.

예제. 세 점 A(−2, 3), B(−4, −2), C(5, 1)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC가 있다. 변 BC 위의 점 P가 △ABP = 2△APC 를 만족할 때, 점 P(a, b)에 대하여 a + b의 값을 구하여라.

풀이.

① 넓이 비 → 밑변 비. △ABP : △APC = 2 : 1 이고, 두 삼각형은 꼭짓점 A를 공유하므로

BP : PC = 2 : 1

② 내분 비 확정. 따라서 P는 BC를 2 : 1 로 내분하는 점이다. (B에서 출발해 C로 가며 2 : 1)

③ 내분점 공식 대입. m = 2, n = 1, B(−4, −2), C(5, 1)이므로

a = (1·(−4) + 2·5) / (2+1) = (−4 + 10) / 3 = 6/3 = 2
b = (1·(−2) + 2·1) / (2+1) = (−2 + 2) / 3 = 0/3 = 0

④ 따라서 P(2, 0), 즉 a + b = 2.

한 걸음 더 — 넓이 비가 1 : 2 였다면? (펼쳐보기)

조건이 △ABP = ½△APC, 즉 △ABP : △APC = 1 : 2 였다면 BP : PC = 1 : 2 이므로 P는 BC를 1 : 2 로 내분합니다. 이때 m = 1, n = 2 로 바뀌어

a = (2·(−4) + 1·5)/3 = (−8+5)/3 = −1, b = (2·(−2) + 1·1)/3 = (−4+1)/3 = −1 → P(−1, −1).

→ 어느 삼각형이 어느 밑변에 대응하는지에 따라 비가 통째로 뒤바뀌므로, 항상 “△ABP ↔ 밑변 BP”를 먼저 확정하고 시작하세요.

⚠ 자주 나오는 실수

넓이 비와 밑변의 대응을 거꾸로: △ABP의 밑변은 BP, △APC의 밑변은 PC. “B를 품은 삼각형 ↔ B쪽 밑변(BP)”으로 짝지어야 합니다.
내분점 공식에서 비를 그대로 곱하기: BP : PC = m : n 이면 분자는 n·B + m·C. 비율 숫자와 점이 엇갈려(교차) 곱해지는 것에 주의하세요.