🎯 수능 연계 분석
「점의 자취의 방정식」은 평면좌표 단원에서 수능·모의고사에 가장 자주 출제되는 핵심 유형입니다. 이 유형은 단순히 내분점 공식을 적용하는 데 그치지 않고, 움직이는 점의 조건(직선·원 위의 점)을 매개변수로 설정한 뒤 소거하여 자취 방정식을 도출하는 과정을 요구합니다.
수능에서는 내분점·외분점 공식, 직선의 방정식, 원의 방정식, 매개변수 소거 등과 결합하여 출제되며, 최근에는 도형의 이동·대칭과도 연계됩니다. 고득점을 위해 조건 설정 → 내분점 좌표 표현 → 매개변수 소거의 3단계 풀이 흐름을 반드시 체화해야 합니다.
📌 출제의도 & 핵심 풀이 맥락
출제의도: 직선 위를 움직이는 점과 고정점을 잇는 선분의 내분점이 그리는 자취(도형)의 방정식을 구할 수 있는지 평가합니다.
핵심 풀이 맥락 (3-STEP)
STEP A. 움직이는 점 B의 좌표를 매개변수 (a, b)로 놓고, B가 만족하는 조건식(직선 y = 2x + 1)에 대입하여 a와 b 사이의 관계식을 세웁니다.
STEP B. 내분점 공식을 적용해 자취 위의 점 (x, y)를 a, b로 표현한 뒤, 역으로 a, b를 x, y로 표현합니다.
STEP C. STEP A의 관계식에 STEP B의 결과를 대입하여 매개변수를 소거하면, x와 y만으로 이루어진 도형의 방정식이 도출됩니다.
💡 TIP: 자취 문제는 항상 “움직이는 점의 조건식”과 “내분(외분)점 공식” 두 가지를 연립하는 구조입니다. 매개변수 소거 후 정리 과정에서 계수 실수에 주의하세요.
🔑 핵심 키워드 & 관련 개념
• 내분점 공식 — 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점의 좌표
• 직선의 방정식 — 움직이는 점이 만족하는 조건식 설정
• 자취의 방정식 — 매개변수 소거를 통한 도형의 방정식 도출
🎬 해설 동영상
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