📌 핵심 공식 — 내분점 & 중점 좌표
두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여,
- 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점 P → P( (m x₂ + n x₁)/(m+n), (m y₂ + n y₁)/(m+n) )
- 선분 AB의 중점 M → M( (x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2 ) (m = n = 1인 경우)
⚡ 자취(도형의 방정식) 응용 3단계
① 움직이는 점을 한 문자로 설정 (직선 위면 미지수 1개) → ② 구하는 점을 (x, y)로 놓고 내분점·중점 공식 대입 → ③ 매개문자를 x, y로 역으로 표현해 직선식에 대입·소거.
아래 문제로 내분점·중점 좌표를 정확히 계산한 뒤, 한 점이 직선 위를 움직일 때 그 내분점·중점이 그리는 도형의 방정식까지 구하는 흐름을 손에 익혀 보세요.
기본형 — 내분점·중점 좌표 단순 계산
기본 1. 두 점 A(1, 2), B(7, 8)에 대하여 선분 AB를 2:1로 내분하는 점 P의 좌표를 구하여라.
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m:n = 2:1 → 먼 끝점 B에 2, 가까운 끝점 A에 1을 곱한다.
x = (2·7 + 1·1)/(2+1) = (14 + 1)/3 = 15/3 = 5
y = (2·8 + 1·2)/(2+1) = (16 + 2)/3 = 18/3 = 6
따라서 P(5, 6)
x = (2·7 + 1·1)/(2+1) = (14 + 1)/3 = 15/3 = 5
y = (2·8 + 1·2)/(2+1) = (16 + 2)/3 = 18/3 = 6
따라서 P(5, 6)
기본 2. 두 점 A(3, −1), B(7, 5)의 중점 M의 좌표를 구하여라.
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x = (3 + 7)/2 = 10/2 = 5
y = (−1 + 5)/2 = 4/2 = 2
따라서 M(5, 2)
y = (−1 + 5)/2 = 4/2 = 2
따라서 M(5, 2)
기본 3. 두 점 A(−2, 1), B(4, 10)에 대하여 선분 AB를 1:2로 내분하는 점 Q의 좌표를 구하여라.
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m:n = 1:2 → 먼 끝점 B에 1, 가까운 끝점 A에 2를 곱한다.
x = (1·4 + 2·(−2))/(1+2) = (4 − 4)/3 = 0/3 = 0
y = (1·10 + 2·1)/(1+2) = (10 + 2)/3 = 12/3 = 4
따라서 Q(0, 4)
x = (1·4 + 2·(−2))/(1+2) = (4 − 4)/3 = 0/3 = 0
y = (1·10 + 2·1)/(1+2) = (10 + 2)/3 = 12/3 = 4
따라서 Q(0, 4)
응용형 — 내분점·중점이 그리는 도형의 방정식
응용 1. 점 A(2, 8)과 직선 y = 2x + 1 위를 움직이는 점 B에 대하여, 선분 AB를 2:1로 내분하는 점 P가 나타내는 도형의 방정식을 구하여라.
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① 움직이는 점 설정. B는 직선 y = 2x + 1 위의 점이므로 B(a, 2a + 1).
② 내분점 공식 대입. 구하는 점을 P(x, y)로 놓으면, AB를 2:1로 내분하므로
x = (2·a + 1·2)/(2+1) = (2a + 2)/3
y = (2·(2a + 1) + 1·8)/(2+1) = (4a + 10)/3
③ 매개문자 a 소거. 첫 식에서 3x = 2a + 2 → a = (3x − 2)/2.
이를 둘째 식 3y = 4a + 10 에 대입하면
3y = 4·(3x − 2)/2 + 10 = 2(3x − 2) + 10 = 6x + 6
∴ y = 2x + 2
따라서 점 P가 나타내는 도형의 방정식은 y = 2x + 2 (원래 직선과 평행한 직선).
② 내분점 공식 대입. 구하는 점을 P(x, y)로 놓으면, AB를 2:1로 내분하므로
x = (2·a + 1·2)/(2+1) = (2a + 2)/3
y = (2·(2a + 1) + 1·8)/(2+1) = (4a + 10)/3
③ 매개문자 a 소거. 첫 식에서 3x = 2a + 2 → a = (3x − 2)/2.
이를 둘째 식 3y = 4a + 10 에 대입하면
3y = 4·(3x − 2)/2 + 10 = 2(3x − 2) + 10 = 6x + 6
∴ y = 2x + 2
따라서 점 P가 나타내는 도형의 방정식은 y = 2x + 2 (원래 직선과 평행한 직선).
응용 2. 점 A(4, 2)와 직선 x + 2y − 3 = 0 위를 움직이는 점 P에 대하여, 선분 AP의 중점 M이 나타내는 도형의 방정식을 구하여라.
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① 움직이는 점 설정. P를 P(a, b)라 하면 직선 위의 점이므로 a + 2b − 3 = 0.
② 중점 공식 대입. 구하는 점을 M(x, y)로 놓으면
x = (4 + a)/2 → a = 2x − 4
y = (2 + b)/2 → b = 2y − 2
③ a, b를 직선식에 대입.
(2x − 4) + 2(2y − 2) − 3 = 0
2x − 4 + 4y − 4 − 3 = 0
∴ 2x + 4y − 11 = 0
따라서 중점 M이 나타내는 도형의 방정식은 2x + 4y − 11 = 0 (원래 직선과 평행한 직선).
② 중점 공식 대입. 구하는 점을 M(x, y)로 놓으면
x = (4 + a)/2 → a = 2x − 4
y = (2 + b)/2 → b = 2y − 2
③ a, b를 직선식에 대입.
(2x − 4) + 2(2y − 2) − 3 = 0
2x − 4 + 4y − 4 − 3 = 0
∴ 2x + 4y − 11 = 0
따라서 중점 M이 나타내는 도형의 방정식은 2x + 4y − 11 = 0 (원래 직선과 평행한 직선).
⚠ 자주 나오는 실수
- 내분 비율 방향 혼동 — m:n 내분점은 먼 쪽 끝점에 m, 가까운 쪽 끝점에 n을 곱한다. AP:PB = 2:1이면 B에 2, A에 1. 반대로 쓰면 좌표가 완전히 달라진다.
- ‘움직이는 점’과 ‘구하는 점’을 섞어 씀 — 직선 위를 움직이는 점은 (a, b)나 (a, 2a+1)처럼 매개문자로 두고, 구하는 자취 위의 점만 (x, y)로 둔다. 둘을 같은 문자로 쓰면 식이 꼬인다.
- 매개문자를 소거하지 않고 끝냄 — 자취의 방정식에는 a, b 같은 매개문자가 남으면 안 된다. 반드시 x, y로 역표현해 대입·소거까지 마쳐야 도형의 방정식이 완성된다.
- 분모(m+n) 빠뜨림 — 내분점은 분자만 계산하고 분모 (m+n)으로 나누는 것을 잊기 쉽다.