평면좌표 유형 03 · 두 점 사이의 거리의 활용 — 삼각형의 모양 결정 NORMAL 최다빈출 · 왕중요
📌 이 단원, 수능에서 왜 중요한가
평면좌표(두 점 사이의 거리)는 이후 배우는 도형의 방정식(직선·원)과 자취 문제의 기초 골격이 되는 단원입니다. 좌표 위 점들의 위치 관계를 길이로 환산하는 사고가 잡혀 있어야, 원의 방정식·도형의 넓이·자취 같은 상위 유형에서 막히지 않습니다.
그중에서도 ‘삼각형의 모양 결정’ 유형은 거리 공식을 단순 계산으로 끝내지 않고, 이등변삼각형·직각삼각형·정삼각형이 되는 조건으로 연결 짓는 능력을 묻습니다. 수능·내신에서는 거리(이등변·정삼각형 판별)와 기울기(직각·평행 판별)를 함께 다루는 문제로 확장되어 출제되므로, 이 유형에서 ‘조건 → 경우 분류 → 빠짐없이 해 구하기’의 흐름을 몸에 익혀두는 것이 고득점의 핵심 요건입니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심맥락
- 출제의도 — 좌표가 주어진 세 점에서 두 점 사이의 거리 공식을 정확히 적용해 세 변의 길이를 구하고, ‘이등변삼각형’이라는 조건을 식으로 옮길 수 있는지 확인하는 문제입니다.
- 핵심맥락 1 — 이등변삼각형은 ‘어느 두 변의 길이가 같은가’가 정해져 있지 않으므로 세 가지 경우로 나누어 모두 따져야 합니다. (한 경우만 보고 답을 확정하면 오답)
- 핵심맥락 2 — 무리식 등식은 양변을 제곱해 비교하면 계산이 깔끔해집니다.
- 함정 포인트 — 문제에서 묻는 것은 ‘모든 실수 a의 값의 곱’입니다. 각 경우에서 나온 해를 빠짐없이 모은 뒤 곱해야 하므로, 중간에 해를 누락하지 않는 것이 관건입니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념
이 문제를 풀려면 단원 내·외의 다음 개념이 함께 동원됩니다. (클릭 시 개념정리로 이동)
- 두 점 사이의 거리 — 세 변 AB, BC, CA의 길이를 좌표로부터 구하는 출발점
- 삼각형의 모양 결정 (이등변삼각형 조건) — ‘두 변의 길이가 같다’를 식으로 옮겨 경우를 분류하는 방법
- 이등변삼각형의 정의(중등 도형) — 두 변의 길이가 같은 삼각형이라는 기본 조건
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