“
부등식의 해집합 사이의 포함 관계를 이용하여 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 집합의 조건인 이차부등식을 풀어 해집합을 구합니다.
– A = {x | -2a ≤ x ≤ a} (자연수 a이므로)
– B = {x | -10 2. A⊂B가 성립하도록 수직선 위에 두 집합의 범위를 나타냅니다.
3. 수직선을 보고, A의 양 끝값이 B의 범위 안에 포함되기 위한 부등식을 세웁니다.
– -10 4. 두 부등식을 모두 만족하는 자연수 a의 개수를 셉니다.
주의할 점:
수직선을 이용해 포함 관계를 시각적으로 표현하면 부등식을 세울 때 실수를 줄일 수 있습니다. 등호 포함 여부를 주의 깊게 판단해야 합니다.
”
두 부등식 해집합의 포함 관계(A⊂B)
“
연속적인 포함 관계(A⊂B⊂C)를 만족하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 세 집합 A, B, C를 각각 부등식의 해로 표현합니다.
– A = {x | -3 ≤ x ≤ 3}
– B = {x | -a – C = {x | -9 ≤ x ≤ 9}
2. 수직선 위에 세 집합의 포함 관계가 나타나도록 그립니다.
3. (A⊂B 조건) -a 3.
4. (B⊂C 조건) -9 ≤ -a 이고 a ≤ 9 여야 합니다. 즉, a ≤ 9.
5. 두 조건을 모두 만족하는 자연수 a의 범위를 찾고, 그 합을 구합니다.
주의할 점:
각 포함 관계에 대해 부등식을 세우고, 최종적으로 연립부등식을 풀어 공통 범위를 찾아야 합니다.
”
세 집합의 연속적인 포함 관계(A⊂B⊂C)
“
두 집합이 모두 다른 한 집합의 부분집합이 될 조건을 이용해 미지수의 최솟값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 세 집합 A, B, C를 모두 원소나열법 또는 범위로 나타냅니다.
– A = {-5, -3, -1, 1}
– B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4}
– C = {정수 x | 1-k 2. **(A⊂C 조건)** 집합 C가 A의 모든 원소를 포함해야 합니다. A의 가장 작은 원소(-5)와 가장 큰 원소(1)를 기준으로 범위를 설정합니다. (1-k ≤ -5 그리고 1 3. **(B⊂C 조건)** 집합 C가 B의 모든 원소를 포함해야 합니다. B의 가장 작은 원소(-1)와 가장 큰 원소(4)를 기준으로 범위를 설정합니다. (1-k ≤ -1 그리고 4 4. 두 조건을 모두 만족하는 k의 공통 범위를 찾아, 양의 정수 k의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
C가 A와 B를 모두 포함하려면, A와 B를 합친 집합(A∪B)의 최소, 최대 원소를 모두 포함해야 합니다. 즉, C는 {-5, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4}를 포함해야 합니다.
”
두 집합을 모두 포함하는 집합의 조건
“
부분집합 관계(A⊂B)를 이용하여 방정식의 해를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A는 방정식 (x-5)(x-a)=0의 해이므로, A = {5, a} 입니다.
2. 집합 B = {-3, 5} 입니다.
3. A⊂B가 성립하려면, A의 모든 원소가 B에 있어야 합니다.
4. A의 원소 5는 이미 B에 있으므로, 나머지 원소 a가 B에 있으면 됩니다.
5. 따라서 a = -3 이 되어야 합니다.
6. 문제에서 ‘양수 a’를 묻고 있으므로, A⊂B를 만족시키는 양수 a는 존재하지 않습니다. (문제 오류 가능성 확인 – 해설에서는 a=5를 답으로 함. 이는 A=B인 경우임. A⊂B의 일반적인 경우를 고려해야 함)
주의할 점:
A⊂B 조건에서 A=B인 경우도 포함됩니다. 만약 a=5라면 A={5}가 되어 B에 포함되므로, a=5도 가능한 해입니다.
”
부분집합 관계(A⊂B)와 방정식의 해
“
한 집합의 원소를 더하여 만들어지는 새로운 집합의 합을 이용해, 원래 집합의 원소를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A={a, a+1}의 원소 x, y를 이용하여 집합 B의 원소를 구합니다.
– x=a, y=a → x+y = 2a
– x=a, y=a+1 → x+y = 2a+1
– x=a+1, y=a+1 → x+y = 2a+2
– B = {2a, 2a+1, 2a+2}
2. 집합 B의 모든 원소의 합이 15라고 했으므로, (2a)+(2a+1)+(2a+2) = 15 라는 방정식을 풉니다.
3. a값이 결정되면 집합 A의 원소를 확정하고, 그 원소들의 합을 구합니다.
주의할 점:
집합 B의 원소를 구할 때, x와 y가 같을 수도 있다는 점(x∈A, y∈A)을 고려해야 합니다.
”
두 집합 원소의 합으로 만들어진 새 집합
“
다른 집합의 원소를 이용해 새롭게 정의된 집합들 사이의 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A) A = {0, 1, 2}
2. (집합 B) A의 원소 x, y를 이용해 2x+y의 모든 가능한 값을 구하여 집합 B를 원소나열법으로 나타냅니다.
3. (집합 C) A의 원소 x, y를 이용해 xy의 모든 가능한 값을 구하여 집합 C를 원소나열법으로 나타냅니다.
4. 세 집합 A, B, C의 원소들을 비교하여 포함 관계를 확인합니다.
주의할 점:
x와 y는 A의 원소 중 같은 것을 선택할 수도 있습니다. (예: 2*0+0=0, 0*0=0). 모든 조합을 빠짐없이 계산해야 합니다.
”
새로운 규칙으로 정의된 집합의 포함 관계
“
복소수의 거듭제곱을 원소로 하는 집합과, 그 원소들의 제곱의 합으로 만들어지는 새로운 집합에 대한 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A 구하기) i의 거듭제곱은 i, -1, -i, 1 네 가지 값을 반복합니다. 따라서 A = {i, -1, -i, 1} 입니다.
2. (원소의 제곱) A의 원소 z₁, z₂를 제곱하면 z₁²과 z₂²은 각각 -1 또는 1이 됩니다.
3. (제곱의 합) 가능한 z₁²+z₂²의 조합을 모두 구합니다.
– (-1)+(-1) = -2
– (-1)+1 = 0
– 1+1 = 2
4. 따라서 집합 B = {-2, 0, 2} 이며, 원소의 개수는 3개입니다.
주의할 점:
복소수 i의 순환성을 정확히 이해하고 있어야 집합 A를 올바르게 구할 수 있습니다.
”
복소수 거듭제곱 규칙으로 집합 원소 구하기
“
주어진 벤 다이어그램의 포함 관계(A⊂B 이고 A≠B)를 만족하는 두 집합의 쌍을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 집합 A와 B를 원소나열법으로 나타냅니다.
2. 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되는지(A⊂B) 확인합니다.
3. 집합 A와 B가 서로 같지는 않은지(A≠B) 확인합니다.
4. 두 조건을 모두 만족하는 보기를 선택합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램은 A가 B의 ‘진부분집합’임을 나타내고 있습니다. A⊂B와 A≠B를 동시에 만족해야 합니다.
”
벤 다이어그램으로 집합의 포함 관계 찾기
“
주어진 집합이 유한집합인지 무한집합인지 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 집합이 나타내는 원소들을 생각합니다.
– **(유한집합)** 원소의 개수를 셀 수 있거나, 원소가 아예 없는(공집합) 경우입니다.
– **(무한집합)** 원소의 개수가 무한히 많은 경우입니다.
2. ④번의 경우, -3 3. 나머지 보기들은 ‘…’으로 표현되거나, 특정 범위의 ‘실수’ 또는 ‘자연수’ 전체를 나타내므로 무한집합입니다.
주의할 점:
조건제시법으로 표현되었을 때, 원소 x가 어떤 수의 집합(정수, 유리수, 실수 등)에 속하는지를 확인하는 것이 중요합니다.
”
유한집합과 무한집합 구분하기
“
두 집합이 서로 같을 조건(A=B)을 이용하여 미지수를 찾는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. ‘A⊂B 이고 B⊂A’ 라는 것은 ‘A=B’ 와 같은 의미입니다.
2. 집합 A는 6의 양의 약수이므로, A = {1, 2, 3, 6} 입니다.
3. A=B가 되려면 두 집합의 원소가 완전히 일치해야 합니다.
4. 집합 B의 원소 {1, 2, a+1, b}와 비교하면, a+1과 b가 각각 3과 6이 되어야 합니다.
5. 두 가지 경우(a+1=3, b=6 또는 a+1=6, b=3) 모두 a+b의 값은 동일합니다.
주의할 점:
두 집합이 같다는 것은 원소의 구성이 완전히 동일하다는 의미입니다. 순서는 상관없습니다.
”
두 집합이 서로 같을 조건(A=B)
