“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접점 사이의 거리, 즉 극선(현)의 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (극선 방정식) 459번 문제의 공식을 이용해, 두 접점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 먼저 구합니다.
2. 이제 문제는 ‘원과 직선이 만나서 생기는 현의 길이’를 구하는 문제로 바뀝니다.
3. 원의 중심 (0,0)과 1단계에서 구한 극선 사이의 거리 d를 구합니다.
4. 원의 반지름 r은 5입니다.
5. 피타고라스 정리 **(현의 길이/2)² + d² = r²** 을 이용해 현 AB의 길이를 구합니다.
주의할 점:
극선의 방정식을 구하는 것이 첫 단계입니다. 이 개념을 모른다면 문제를 풀기가 매우 어렵습니다.
”
두 접점으로 만든 삼각형의 넓이
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 접점을 지나는 직선(극선)의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (공식 활용) 원 x²+y²=r² 밖의 한 점 (x₁,y₁)에서 그은 두 접점 P, Q를 지나는 직선의 방정식은 **x₁x + y₁y = r²** 입니다.
2. 이 문제에서 원 밖의 점은 (2,3)이고, 원의 방정식은 x²+y²=1 입니다.
3. 공식에 그대로 대입하면, 구하는 직선의 방정식은 2x+3y=1 이 됩니다.
주의할 점:
극선의 방정식 공식을 알고 있으면 10초 안에 풀 수 있는 문제입니다. 이 공식은 교육과정에서 직접적으로 다루지 않을 수 있지만, 매우 유용하므로 기억해두는 것이 좋습니다.
”
두 접점 사이의 거리(극선 길이)
“
원 밖의 한 점에서 그은 접선이 x축과 만나는 점, 즉 x절편을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (0,3)에서 원 x²+y²=1에 그은 접선의 방정식을 구합니다.
2. 접선의 기울기를 m으로 두는 방법보다, 접점을 (x₁, y₁)로 두고 푸는 것이 더 효율적입니다.
3. 접선의 방정식은 x₁x + y₁y = 1 이고, 이 직선이 (0,3)을 지나므로 3y₁=1, 즉 y₁=1/3 입니다.
4. 접점이 원 위의 점이므로 x₁²+y₁²=1 에서 x₁값을 구합니다.
5. 접선의 방정식이 완성되면, y=0을 대입하여 x절편 k를 구합니다. k² 값을 최종적으로 계산합니다.
주의할 점:
원 밖의 점이 좌표축 위에 있을 경우, 접점을 미지수로 두는 것이 계산을 더 간편하게 만드는 경우가 많습니다.
”
두 접점을 지나는 직선(극선)의 방정식
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 y축과 만나는 점의 좌표를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (2,-4)에서 원 x²+y²=2에 그은 두 접선의 방정식을 구해야 합니다.
2. 접선의 기울기를 m이라 두고, 점 (2,-4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
3. 원의 중심 (0,0)과 이 직선 사이의 거리가 반지름(√2)과 같다는 조건을 이용해 m에 대한 이차방정식을 풉니다.
4. 두 개의 m값이 나오면, 각각의 접선의 방정식을 완성합니다.
5. 각 접선의 방정식에서 y절편(x=0일 때 y값)을 구하면 그것이 a와 b가 됩니다.
주의할 점:
접선의 방정식을 구하는 과정에서 계산이 복잡할 수 있습니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 정확히 적용해야 합니다.
”
원 밖에서 그은 접선의 x절편
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 이루는 각을 이등분하는 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P와 원의 중심 C를 지나는 직선은 두 접선이 이루는 각을 항상 이등분합니다.
2. 또한, 점 P를 지나고 직선 PC에 수직인 직선도 두 접선이 이루는 각(의 외각)을 이등분합니다.
3. 따라서, **직선 PC의 방정식**과, **점 P를 지나고 직선 PC에 수직인 직선의 방정식** 두 개를 구하면 됩니다.
4. 점 P(3,0)와 원의 중심 (1,-2)의 좌표를 이용해 두 직선의 방정식을 각각 구하고, 계수를 비교합니다.
주의할 점:
두 접선 자체를 구하는 것은 매우 복잡합니다. 각의 이등분선이 갖는 기하학적 성질(중심을 지난다)을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
원 밖에서 그은 접선의 y절편
“
한 원에 접하고 다른 원의 넓이를 이등분하는 직선 문제입니다. 454번과 조건의 순서만 바뀌었습니다.
접근법:
1. 직선이 원 O’의 넓이를 이등분하므로, 원 O’의 중심 (0,4)를 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (0,4)를 지나고 원 O에 접하는 직선’을 찾는 것으로 바뀝니다.
3. 접선의 기울기를 m이라 두고 점 (0,4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 이 직선과 원 O의 중심 (0,0) 사이의 거리가 반지름 2와 같다는 조건을 이용해 m값을 구합니다.
5. 문제의 조건에 맞는 양수 기울기를 선택하여 직선을 완성하고, 주어진 점을 대입해 a값을 구합니다.
주의할 점:
두 가지 조건을 어떤 순서로 해석하든, 결국 ‘특정 점을 지나고 원에 접하는 직선’을 찾는 문제로 귀결됩니다.
”
두 접선이 이루는 각의 이등분선
“
한 원의 넓이를 이등분하고 다른 원에 접하는 직선의 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 첫 번째 원의 넓이를 이등분하므로, 반드시 그 원의 중심 (2,-3)을 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (2,-3)을 지나고 원 x²+y²=1에 접하는 직선’을 찾는 문제로 단순화됩니다.
3. 접선의 기울기를 m이라 두고 점 (2,-3)을 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 이 직선과 원 x²+y²=1의 중심 (0,0) 사이의 거리가 반지름 1과 같다는 등식을 세워 m값을 구합니다.
5. m에 대한 이차방정식이 나오므로, 근과 계수의 관계를 통해 기울기의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘넓이를 이등분한다’는 조건을 ‘중심을 지난다’로 해석하여, 이 문제를 ‘원 밖의 한 점에서 그은 접선’ 문제로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
한 원에 접하고, 다른 원 넓이 이등분
“
원 밖의 한 점을 지나는 직선이 원과 만날 때, 그 직선의 기울기의 최댓값을 구하는 문제입니다. 이는 직선이 원에 접할 때 발생합니다.
접근법:
1. 점 (4,0)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 원 x²+y²=12와 만나야 하므로, 원의 중심 (0,0)과 직선 사이의 거리가 반지름(√12)보다 작거나 같아야 합니다.
3. 기울기가 최대 또는 최소가 되는 순간은 직선이 원에 접하는 순간입니다.
4. 따라서, 중심과 직선 사이의 거리가 반지름과 같다는 등식을 세워 m에 대한 이차방정식을 풀고, 두 기울기 중 큰 값을 최댓값으로 선택합니다.
주의할 점:
점이 원 밖에 있을 때, 그 점을 지나는 직선의 기울기는 접할 때 최대/최소를 갖는다는 기하학적 상황을 이해하는 것이 중요합니다.
”
한 원 넓이 이등분, 다른 원에 접하는 직선
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원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 기울기의 합을 묻는 문제입니다. 근과 계수의 관계를 활용합니다.
접근법:
1. 구하려는 접선의 기울기를 m이라 하고, 점 (3,4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 원에 접하므로, 원의 중심 (1,1)과 직선 사이의 거리가 반지름 1과 같다는 등식을 세웁니다.
3. 이 등식을 정리하면 m에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 이 방정식의 두 근이 바로 두 접선의 기울기입니다.
4. 문제에서 ‘기울기의 합’을 요구했으므로, 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
기울기를 직접 구하려고 하면 계산이 복잡해질 수 있습니다. ‘모든 값의 합’을 묻는 것은 근과 계수의 관계를 사용하라는 강력한 힌트입니다.
”
원과 만나는 직선 기울기의 최댓값
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선과 y축으로 둘러싸인 도형(삼각형)의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 원 밖의 점 (3,0)에서 원에 그은 두 접선의 방정식을 구합니다.
– (방법) 접점을 (x₁, y₁)로 두고 접선의 방정식을 세운 뒤, 이 직선이 (3,0)을 지남을 이용합니다. 접점이 원 위의 점이라는 조건과 연립하여 접점을 찾습니다.
2. 두 개의 접선의 방정식을 각각 구합니다.
3. 각 접선이 y축과 만나는 점, 즉 y절편을 구합니다.
4. 두 y절편과 점 (3,0)을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 계산합니다. (밑변은 y축 위에, 높이는 점의 x좌표가 됨)
주의할 점:
원 밖의 한 점에서 그은 접선을 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하거나, 이 풀이처럼 접점을 미지수로 두는 방법 모두 익숙해져야 합니다.
”
원 밖에서 그은 접선의 기울기의 합
