“
두 정점과 원 위의 한 점으로 만들어지는 식(PA²+PB²)의 최솟값을 구하는 문제입니다. 파푸스의 중선정리를 활용합니다.
접근법:
1. 삼각형 PAB에 파푸스의 중선정리를 적용하면 **PA² + PB² = 2(PM² + AM²)** 이 성립합니다. (M은 선분 AB의 중점)
2. 선분 AB의 길이가 고정되어 있으므로, 중점 M의 좌표와 선분 AM의 길이도 고정된 상수입니다.
3. 따라서 PA²+PB²이 최소가 되려면, **PM²이 최소**가 되어야 합니다.
4. PM은 원 위의 점 P와 정점 M 사이의 거리이므로, 이 거리의 최솟값은 **(원의 중심 O와 점 M 사이의 거리) – (반지름)** 입니다.
5. PM의 최솟값을 구해 중선정리 식에 대입하여 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
이 유형의 문제는 항상 중선정리를 떠올려야 합니다. 식을 직접 전개하여 풀면 매우 복잡해집니다.
”
원 위의 점과 한 점 사이 거리 최솟값
“
두 원 위를 움직이는 점 사이의 선분 길이의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 방정식을 각각 표준형으로 변환하여 중심 C₁, C₂ 와 반지름 r₁, r₂를 모두 구합니다.
2. 두 원의 **중심 사이의 거리 d**를 구합니다.
3. 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값은, 두 중심을 잇는 직선이 각 원과 만나는 점 중 가장 바깥쪽 두 점 사이의 거리와 같습니다.
4. 따라서 최댓값 M = **d + r₁ + r₂** 입니다.
주의할 점:
최솟값은 d – r₁ – r₂ (두 원이 만나지 않을 때), 최댓값은 d + r₁ + r₂ 입니다. 그림을 그려보면 쉽게 이해할 수 있습니다.
”
중선정리와 거리의 최솟값
“
주어진 식이 두 점 사이의 거리임을 해석하고, 그 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 √( (a-3)² + (b-8)² ) 은 원 위의 점 P(a,b)와 원 밖의 점 Q(3,8) 사이의 거리를 의미합니다.
2. 이제 문제는 466번과 같이 ‘원 위의 점과 원 밖의 점 사이의 거리의 최댓값’을 구하는 문제로 바뀝니다.
3. 원의 중심 C(-2,-4)와 점 Q(3,8) 사이의 거리 d를 구합니다.
4. 최댓값은 **d + r** (r은 원의 반지름) 입니다.
주의할 점:
복잡해 보이는 식이 실제로는 어떤 기하학적 의미를 갖는지 파악하는 것이 중요합니다. 이 식은 두 점 사이의 거리 공식의 형태와 동일합니다.
”
두 원 위 점 사이 거리의 최댓값
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원 위의 점과 원 밖의 한 점 사이의 거리가 정수가 되도록 하는 점의 개수를 세는 문제입니다.
접근법:
1. 466번 문제와 같이, 먼저 거리의 **최댓값(M)과 최솟값(m)**을 구합니다.
2. 원 위의 점 P와 점 A 사이의 거리는 m 이상 M 이하의 모든 실수 값을 가질 수 있습니다. (m ≤ AP ≤ M)
3. 이 범위 안에 포함되는 **정수 값**들을 모두 찾습니다.
4. 각 정수 값에 대해, 그 거리를 만족하는 점 P가 몇 개씩 있는지 셉니다. 최솟값과 최댓값을 만족하는 점은 각각 1개씩, 그 사이의 정수 값을 만족하는 점은 원의 대칭성에 의해 항상 **2개씩** 존재합니다.
주의할 점:
단순히 정수의 개수만 세는 것이 아니라, 양 끝(최소, 최대) 지점은 점이 1개, 그 사이는 2개씩이라는 점을 놓치지 말아야 합니다.
”
거리 식의 최댓값 구하기
“
원 밖의 한 점과 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심 C의 좌표와 반지름 r의 길이를 구합니다.
2. 원 밖의 점 Q와 원의 중심 C 사이의 거리 d를 구합니다.
3. **최댓값 M = d + r** (점 Q, 중심 C, 점 P가 일직선 상에 있고 C가 가운데 있을 때)
4. **최솟값 m = d – r** (점 Q, 점 P, 중심 C가 일직선 상에 있고 P가 가운데 있을 때)
주의할 점:
최대/최소 거리는 항상 원 밖의 점과 중심을 잇는 직선 위에서 발생한다는 기하학적인 그림을 머릿속에 그릴 수 있어야 합니다.
”
거리가 정수가 되는 점의 개수
“
원과 만나는 직선 위의 두 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 한 점에서의 접선과, 그 접선에 수직인 또 다른 접선이 만나는 점은 항상 **감독원** 위에 있습니다.
2. 이 문제에서 두 접선이 수직이므로, 두 접선의 교점 D는 원의 감독원 위에 있습니다.
3. 또한, 두 접점 A, B와 원의 중심 C, 그리고 교점 D로 만들어지는 사각형 ADBC는 정사각형입니다. 이때 대각선 CD는 y=x와 수직이등분 관계에 있을 것입니다.
4. 원의 중심(1,1)과 직선 y=mx 사이의 거리를 이용해 m에 대한 관계식을 세우고, 기하학적 조건을 만족하는 m 값들의 합을 구합니다.
주의할 점:
상황이 매우 복잡하므로, 그림을 그려 기하학적 관계를 파악하는 것이 중요합니다. 두 접선이 수직이라는 조건에서 감독원을 떠올리고, 이등변삼각형, 정사각형 등의 성질을 활용해야 합니다.
”
원 밖의 점과 원 위 점 사이 거리 최대/최소
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 원의 반지름을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 점 P(5,4)에서 그은 두 접선이 수직이므로, 점 P는 이 원의 **감독원** 위에 있어야 합니다.
2. 원의 중심은 (1,2)이고 반지름은 r입니다.
3. 이 원의 감독원의 방정식은 **(x-1)²+(y-2)² = 2r²** 입니다.
4. 점 P(5,4)가 이 감독원 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 r² 값을 구하고, 반지름 r을 찾습니다.
주의할 점:
점 P, 원의 중심, 그리고 두 접점으로 만들어지는 사각형은 한 변의 길이가 반지름 r인 정사각형이 됩니다. 따라서 (중심과 점 P 사이의 거리) = (정사각형의 대각선 길이) = √2 * r 이라는 기하학적 관계를 이용해 풀 수도 있습니다.
”
두 접선이 수직일 때 기울기의 합
“
462번 문제와 동일하게, 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P(2,0)에서 그은 두 접선이 수직이므로, 점 P는 이 원의 감독원 위에 있어야 합니다.
2. 원의 중심은 (2,a)이고 반지름은 2입니다.
3. 이 원의 감독원의 방정식은 (x-2)²+(y-a)² = 2 * (반지름)² = 2 * 4 = 8 입니다.
4. 점 P(2,0)이 이 감독원 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 양수 a값을 구합니다.
주의할 점:
이 문제에서는 원의 중심에 미지수가 포함되어 있지만, 감독원의 개념을 적용하는 원리는 동일합니다.
”
두 접선이 수직일 때 반지름 구하기
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원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 문제입니다. 이는 감독원(Director Circle)의 개념입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P에서 그은 두 접선이 수직을 이룰 때, 그 점 P는 특정 원 위를 움직입니다. 이 원을 감독원이라고 합니다.
2. 중심이 (a,b)이고 반지름이 r인 원의 감독원의 방정식은 **(x-a)²+(y-b)² = 2r²** 입니다.
3. 이 문제에서 원의 중심은 (0,0)이고 반지름의 제곱은 8입니다.
4. 따라서 감독원의 방정식은 x²+y² = 2*8 = 16 입니다.
5. 점 A(0,a)는 이 감독원 위에 있어야 하므로, 좌표를 대입하여 양수 a값을 구합니다.
주의할 점:
감독원의 개념을 모를 경우, 기울기를 m으로 두고 접선 방정식을 세운 뒤, m에 대한 이차방정식의 두 근의 곱이 -1임을 이용해 풀어야 하므로 계산이 복잡해집니다.
”
두 접선이 수직일 때 중심의 좌표
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원 밖의 한 점에서 그은 두 접점으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 PAB의 밑변을 선분 AB(극선), 높이를 점 P에서 직선 AB까지의 거리로 설정합니다.
2. (밑변 길이) 460번 문제와 동일한 방법으로 극선의 방정식을 구하고, 현 AB의 길이를 구합니다.
3. (높이) 점 P(1,3)과 2단계에서 구한 직선 AB 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
4. 넓이 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이) 를 계산합니다.
주의할 점:
극선의 방정식을 구하는 것, 현의 길이를 구하는 것, 점과 직선 사이의 거리를 구하는 것 등 여러 기본 개념이 순차적으로 필요한 종합 문제입니다.
”
두 접선이 서로 수직일 조건(감독원)
