“
배수 집합의 포함 관계와 차집합의 원소 개수를 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. (Aₙ ⊂ A₄∩A₆) A₄∩A₆ = A₁₂ 입니다. 따라서 Aₙ ⊂ A₁₂ 이려면, n은 12의 배수여야 합니다.
2. (A₂-Aₙ ⊂ A₂-A₄) A₂-A₄는 ‘2의 배수이지만 4의 배수는 아닌 수’의 집합입니다. (예: 2, 6, 10, …)
A₂-Aₙ은 ‘2의 배수이지만 n의 배수는 아닌 수’의 집합입니다. 이 포함 관계가 성립하려면, n이 4의 배수여야 합니다.
3. (A₄∪Aₙ ⊂ A₂) A₄ ⊂ A₂는 항상 성립합니다. 따라서 Aₙ ⊂ A₂가 성립하면 됩니다. 이는 n이 2의 배수임을 의미합니다.
4. 세 조건을 모두 만족하는 n의 최솟값을 찾습니다.
주의할 점:
배수 집합의 포함 관계(m이 n의 배수이면 Aₘ⊂Aₙ)와 차집합의 성질을 정확히 이해하고 적용해야 합니다.
”
세 집합 교집합의 최대/최소 (서술형)
“
두 집합의 교집합과 포함 관계를 동시에 만족하는 부분집합의 개수를 세는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. **(조건 분석)** 집합 X는 {3,4,5}의 부분집합이면서, {1,2}와의 교집합은 공집합이 아니고, {3,4}와는 교집합이 있어야 합니다. 이는 X가 **{1,2} 중 적어도 하나를 포함**하고, **{3,4} 중 적어도 하나를 포함**해야 함을 의미합니다.
2. (여사건 활용) ‘적어도’ 조건이 두 번 나왔으므로, 여사건을 활용합니다.
– 전체 경우: {1,2,3,4}를 반드시 포함하는 X의 개수
– 여사건 1: {1,2}를 포함하지 않는 경우
– 여사건 2: {3,4}를 포함하지 않는 경우
3. 포함-배제 원리: (전체) – (여1) – (여2) + (여1∩여2) 로 계산합니다.
주의할 점:
두 개의 ‘적어도’ 조건이 결합되어 있어 복잡합니다. 각 조건을 만족하는 경우의 수를 정확히 세고, 포함-배제 원리를 적용해야 합니다.
”
대칭차집합의 원소 합 (서술형)
“
세 집합의 원소 개수 최대/최소 문제와 관련된 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) n(A∩B)의 최댓값은 min(n(A), n(B)) 입니다.
2. (ㄴ) n(B-A) = n(B) – n(A∩B) 입니다. 이 값이 최대가 되려면 n(A∩B)가 최소여야 합니다. n(A∩B)의 최솟값은 n(A)+n(B)-n(U) 입니다.
3. (ㄷ) ‘적어도 하나를 선택’은 n(A∪B) 입니다. ‘아무것도 선택하지 않은’은 n((A∪B)ᶜ) 입니다. n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) 이므로, n(A∩B)가 최대일 때 n(A∪B)는 최소가 되고, n((A∪B)ᶜ)는 최대가 됩니다.
주의할 점:
각 집합 연산의 원소 개수가 다른 연산의 원소 개수와 어떻게 연동되는지(최대일 때 최소가 되는 등)를 파악하는 것이 중요합니다.
”
교집합 원소 개수의 최대/최소 (서술형)
“
세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘적어도 한 종류’의 활동을 한 학생 수, 즉 합집합의 원소 개수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 세 집합의 포함-배제 원리 공식 **n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) – n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A) + n(A∩B∩C)** 를 제시합니다.
2. [2단계] 문제에서 n(A∩B), n(B∩C), n(C∩A) 값이 직접 주어지지 않았습니다. ‘A,B를 모두’와 같은 표현이 이를 의미합니다.
3. [3단계] 문제에서 주어진 모든 값을 공식에 정확히 대입하여 n(A∪B∪C)를 계산합니다.
주의할 점:
873번 문제와 완전히 동일한 유형입니다. 서술형이므로 공식과 대입 과정을 명확히 보여주는 것이 중요합니다.
”
두 종류만’ 해당하는 원소 개수 (서술형)
“
세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘A만 신청한’ 학생 수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 구하려는 집합은 **n(A – (B∪C))** 입니다.
2. [2단계] n(A-(B∪C)) = n(A) – n(A∩(B∪C)) = n(A) – [n(A∩B)+n(A∩C)-n(A∩B∩C)] 공식을 이용합니다.
3. [3단계] 문제에 주어진 값들을 공식에 대입하여 계산합니다. n(A∩B), n(A∩C), n(A∩B∩C) 값이 모두 필요합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램에서 A 영역에서 B 또는 C와 겹치는 부분을 모두 제외한 순수한 A만의 영역을 구하는 문제입니다.
”
적어도 하나’ (합집합) 원소 개수 (서술형)
“
세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘두 종류 이하’의 프로그램을 시청하는 학생 수를 구하는 문제입니다. 여사건을 이용하면 편리합니다.
접근법:
1. [1단계] ‘두 종류 이하’의 여사건은 ‘세 종류 모두’ 시청하는 경우입니다.
2. [2단계] 따라서, **n(U) – n(A∩B∩C)** 를 계산하면 됩니다.
3. [3단계] 세 집합의 합집합 공식을 이용하여 n(A∩B∩C) 값을 먼저 구합니다. (‘적어도 한 편’을 시청했으므로 n(A∪B∪C) = n(U) 입니다.)
4. 구한 값을 2단계 식에 대입하여 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
문제의 표현을 정확히 이해하는 것이 중요합니다. ‘두 종류 이하’는 전체에서 ‘세 종류’를 제외한 것과 같습니다.
”
한 종류만’ 해당하는 원소 개수 (서술형)
“
세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘A와 B는 신청하고 C는 신청하지 않은’ 학생 수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 구하려는 집합은 **n((A∩B) – C)** 입니다.
2. [2단계] n((A∩B)-C) = **n(A∩B) – n(A∩B∩C)** 공식을 이용합니다.
3. [3단계] 문제에서 n(A∩B)와 n(A∩B∩C) 값이 주어졌는지 확인하고, 주어지지 않았다면 다른 조건들을 이용해 이 값들을 먼저 구해야 합니다.
4. 모든 값을 구해 공식에 대입하여 계산합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램을 그려보면, A와 B의 교집합 영역에서 C와 겹치는 부분을 제외한 영역의 원소 개수를 구하는 것임을 쉽게 알 수 있습니다.
”
새로운 집합의 원소 합 구하기
“
세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘한 가지 신문만 구독하는’ 가구 수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] ‘한 종류 신문만’ 구독하는 가구 수는 **n(A)+n(B)+n(C) – 2[n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)] + 3n(A∩B∩C)** 공식으로 구할 수 있습니다.
2. [2단계] 주어진 정보 n(U), n(A), n(B), n(C), n(A∩B∩C), n((A∪B∪C)ᶜ)를 이용합니다.
3. 먼저 n(A∪B∪C)를 구하고, 세 집합 합집합 공식을 이용해 **두 개씩의 교집합의 합 [n(A∩B)+…]** 을 구합니다.
4. [3단계] 1단계 공식에 모든 값을 대입하여 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
878번 문제와 동일한 유형입니다. 서술형이므로 각 단계별로 어떤 공식을 사용하고 어떤 값을 구하는지 명확하게 서술해야 합니다.
”
복잡한 집합 연산의 포함 관계 추론하기
“
두 집합의 교집합에 대한 정보가 주어졌을 때, 세 집합의 합집합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘A, B, C 중 어느 영화도 관람하지 않은 학생’은 n((A∪B∪C)ᶜ) 입니다.
2. **n(A∪B∪C) = n(U) – n((A∪B∪C)ᶜ)** 공식을 이용해 합집합의 원소 개수를 먼저 구합니다.
3. 이제 합집합 공식을 이용해 n(A∩B∩C)를 구해야 합니다. 이를 위해 n(A∩B), n(B∩C), n(C∩A)를 알아야 합니다.
4. 문제의 ‘A,B를 모두 관람한 학생은 10명’과 같은 조건이 바로 교집합의 원소 개수를 알려주는 것입니다.
5. 모든 값을 공식에 대입하여 n(A∩B∩C)를 찾습니다.
주의할 점:
문제의 문장을 집합 기호로 정확하게 변환하는 것이 중요합니다. ‘A와 B를 모두’는 A∩B, ‘적어도 하나’는 A∪B∪C, ‘모두 아닌’은 (A∪B∪C)ᶜ을 의미합니다.
”
대칭차집합 원소 개수로 교집합 구하기
“
세 집합의 교집합의 원소 개수의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 집합의 교집합 최솟값은 직접적인 공식보다, 포함-배제 원리를 변형하여 접근합니다.
2. n(A∩B∩C) = n(A∪B∪C) – [n(A)+n(B)+n(C)] + [n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)]
3. n(A∪B∪C)는 최대 n(U)=50 입니다. 각 두 집합 교집합의 최댓값은 min(n(A), n(B)) 등입니다.
4. 또는, **n(A∩B∩C) ≥ n(A)+n(B)+n(C) – 2n(U)** 와 같은 부등식을 활용할 수 있습니다. (이 경우, 두 집합 교집합 정보가 없을 때 사용)
5. 이 문제에서는 ‘모두 가입한 학생’이 5명 이상이라고 했으므로, 최솟값은 5가 됩니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 조건(‘5명 이상’)을 직접적으로 활용해야 합니다. 복잡한 계산 없이 답을 찾을 수 있는 경우도 있습니다.
”
약수 집합의 원소 개수와 포함 관계 이해하기
