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세 집합의 합집합 원소 개수의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. **n(A∪B∪C)**는 세 집합이 **최대한 많이 겹칠 때** 최소가 됩니다.
2. 세 집합의 원소 개수 중 가장 큰 것은 n(C)=25 입니다.
3. n(A)=20, n(B)=17 이므로, A와 B가 모두 C에 포함되는 극단적인 경우를 상상할 수 있습니다.
4. 따라서, n(A∪B∪C)의 최솟값은 세 집합의 원소 개수 중 **가장 큰 값**인 25가 됩니다.
주의할 점:
세 집합 합집합의 최솟값은 n(A), n(B), n(C) 중 최댓값(max)입니다.
”
배수 집합의 복합적인 포함 관계 이해하기
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세 집합의 교집합과 관련된 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘안경만 착용한 학생’은 n(A – (B∪C))를 의미합니다. 이 값을 최대로 만들어야 합니다.
2. **n(A – (B∪C)) = n(A) – n(A∩(B∪C)) = n(A) – [n(A∩B) + n(A∩C) – n(A∩B∩C)]**
3. 이 값이 최대가 되려면, 빼주는 값 [n(A∩B) + n(A∩C) – n(A∩B∩C)]가 **최소**가 되어야 합니다.
4. 주어진 조건들을 이용해 이 식의 최솟값을 찾습니다. 일반적으로 A와 B, A와 C가 최대한 겹치지 않도록, 즉 B∪C가 A와 최소한으로 겹치도록 설정하면 됩니다.
주의할 점:
세 집합의 원소 개수 최대/최소 문제는 벤 다이어그램을 그려 각 영역의 인원이 0 이상이라는 부등식을 세워 연립하여 푸는 것이 정석적인 방법입니다.
”
여러 조건을 만족하는 부분집합 개수 찾기
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘한 종류의 자격증만 가진’ 사람 수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 벤 다이어그램에서 각 집합에만 속하는 세 개의 영역(A-B-C, B-A-C, C-A-B)의 원소 수 합입니다.
2. 이 영역의 합은 **n(A∪B∪C) – [두 종류만 가진 사람 수] – [세 종류 모두 가진 사람 수]** 로 계산할 수 있습니다.
3. 또는, **n(A)+n(B)+n(C) – 2[n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)] + 3n(A∩B∩C)** 공식을 이용할 수 있습니다.
4. 문제에 주어진 값들을 이용해 계산합니다. 먼저 두 종류 교집합의 합을 구해야 합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램의 각 영역을 나타내는 공식들을 정확히 알고 있어야 효율적으로 풀 수 있습니다.
”
원소 개수의 최대/최소 종합 판별 문제
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘A, B 중 적어도 하나를 읽고 C는 읽지 않은’ 학생 수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 집합은 **(A∪B) – C** 입니다.
2. **n((A∪B)-C) = n(A∪B) – n(A∪B∩C)** 공식을 이용합니다.
3. 분배법칙에 의해 A∪B∩C = (A∩C)∪(B∩C) 입니다.
4. n(A∪B)와 n((A∩C)∪(B∩C)) 값을 각각 포함-배제 원리를 이용해 구한 뒤, 빼서 답을 찾습니다.
주의할 점:
벤 다이어그램을 그려서 (A∪B) 영역에서 C와 겹치는 부분을 제외하는 방식으로 시각적으로 푸는 것이 더 직관적일 수 있습니다.
”
적어도 하나’ (합집합) 원소 개수 구하기 (서술형)
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘적어도 두 종류’의 책을 읽은 학생 수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘적어도 두 종류’는 ‘두 종류만 읽은 경우’와 ‘세 종류 모두 읽은 경우’를 합친 것입니다.
2. 벤 다이어그램에서 이 영역은 세 개의 두 집합 교집합 영역과 한 개의 세 집합 교집합 영역의 합입니다.
3. 이 영역의 원소 수는 **[n(A∩B) + n(B∩C) + n(C∩A)] – 2 * n(A∩B∩C)** 로 계산할 수 있습니다.
4. 875번 문제와 같이, 먼저 합집합 공식을 이용해 n(A∩B) + n(B∩C) + n(C∩A) 값을 구한 뒤, 공식에 대입하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
‘두 종류만’과 ‘적어도 두 종류’의 차이를 명확히 구분해야 합니다.
”
A만’ 해당하는 원소 개수 구하기 (서술형)
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘두 종류의 체험활동만 신청한’ 학생 수를 구하는 문제입니다. 벤 다이어그램을 활용하면 편리합니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 벤 다이어그램에서 두 집합씩만 겹치는 세 개의 영역의 원소 수 합입니다.
2. 이 영역의 합은 **[n(A∩B) + n(B∩C) + n(C∩A)] – 3 * n(A∩B∩C)** 로 계산할 수 있습니다.
3. 먼저 세 집합의 합집합 공식을 이용해 n(A∩B) + n(B∩C) + n(C∩A) 의 값을 통째로 구합니다.
4. 구한 값에 문제에서 주어진 n(A∩B∩C)를 대입하여 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램의 각 영역이 어떤 집합 연산을 의미하는지 정확히 이해하고 있어야 합니다.
”
두 종류 이하’ 원소 개수 구하기 (여사건 활용)
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873번 문제와 동일하게, 세 집합의 포함-배제 원리를 이용하는 문제입니다. 이번에는 **n(A∩B∩C)**를 묻고 있습니다.
접근법:
1. 세 종류의 책을 각각 집합 A, B, C로 둡니다.
2. ‘모두 읽지 않은 학생’은 n((A∪B∪C)ᶜ)을 의미합니다. 이를 이용해 n(A∪B∪C) = n(U) – n((A∪B∪C)ᶜ)를 먼저 구합니다.
3. 세 집합의 합집합 원소 개수 공식에 알고 있는 모든 값을 대입합니다.
4. n(A∩B∩C)에 대한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 정보가 합집합인지, 교집합인지, 여집합인지 정확히 파악하고 공식에 대입해야 합니다.
”
A, B는 포함, C는 제외’ 원소 개수 구하기
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실생활 문제에서 세 집합의 포함-배제 원리를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 과목을 각각 집합 A, B, C로 둡니다.
2. **n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) – n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A) + n(A∩B∩C)** 공식을 사용합니다.
3. 문제에서 주어진 값들을 공식에 대입합니다.
4. 문제에서 묻는 것은 ‘적어도 한 과목을 신청한 학생 수’, 즉 **n(A∪B∪C)** 입니다.
주의할 점:
세 집합의 합집합 원소 개수 공식은 반드시 암기해야 합니다. 각 항의 부호(+ 또는 -)를 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.
”
한 종류만’ 해당하는 원소 개수 구하기 (서술형)
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세 집합의 교집합 원소 개수에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. **(ㄱ) n(A∩B∩C)의 최댓값은 세 집합의 원소 개수 중 가장 작은 값입니다. (min(n(A), n(B), n(C)))
2. **(ㄴ) n(A∩B∩C)의 최솟값은 0일 수 있습니다. (세 집합이 모두 겹치지 않는 영역이 존재할 수 있음)
3. **(ㄷ) 세 집합이 각각 서로소라는 조건만으로는 세 집합의 교집합이 공집합이라고 단정할 수 없습니다. (A∩B=∅, B∩C=∅ 이라도 A∩C는 존재할 수 있음)
주의할 점:
세 집합 이상의 교집합에 대한 최대/최소는 두 집합일 때보다 더 복잡하며, 항상 0이 최솟값이 될 수 있다는 가능성을 열어두어야 합니다.
”
세 집합의 합집합과 교집합 원소 개수 계산
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차집합의 원소 개수의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 n(A-B) = n(A) – n(A∩B) 입니다.
2. n(A)는 18로 고정되어 있으므로, n(A-B)가 최대가 되려면 **n(A∩B)가 최소**가 되어야 합니다.
3. n(A∩B)의 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다.
4. 이 최솟값을 구해 공식에 대입하여 n(A-B)의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
차집합의 최대/최소는 교집합의 최소/최대와 반대로 움직인다는 점을 이해하는 것이 중요합니다.
”
세 집합 교집합의 원소 개수 최솟값 구하기
