📌 이 유형, 수능에서 왜 중요할까
직선의 방정식 단원은 수능·학력평가에서 “도형의 조건을 좌표 식으로 정확히 옮기는 능력”을 측정하는 핵심 파트입니다. 특히 두 점을 지나는 직선의 기울기, 평행·수직 조건, 그리고 1단원에서 배운 두 점 사이의 거리가 한 문제 안에서 결합되는 통합형은 4점·준킬러(중상 난이도)로 자주 출제됩니다.
이 문제는 좌표평면 위 네 점이 만드는 도형 조건(두 변의 길이가 같다, 두 변이 평행하다)을 각각 거리 식과 기울기 식으로 번역한 뒤 연립하는 전형적인 흐름을 따릅니다. 즉 평면좌표(거리) 단원과 직선의 방정식(기울기·평행) 단원이 곧장 연결되는, 단원 통합형의 대표 사례입니다.
🎯 출제의도 & 풀이 맥락
출제의도 — 도형 조건(변의 길이가 같다 · 두 변이 평행하다)을 좌표 식으로 빠짐없이 옮기고, 부호 조건까지 챙겨 미지수 p, q를 연립으로 결정하는 능력을 묻습니다.
풀이는 3단계로 끊어집니다.
- 기울기 부호 조건 (가) — 직선 CD의 기울기 q − p2√2 < 0 이므로 q − p < 0 을 먼저 확보합니다.
- 거리 조건 (나)의 앞부분 — AB = CD 에서 3 = √((q − p)² + 8) → (q − p)² = 1 → 부호 조건과 합쳐 q − p = −1.
- 평행 조건 (나)의 뒷부분 — AD ∥ BC 이므로 두 직선의 기울기가 같다 → q − 3p = −11. 두 식을 연립하면 p = 5, q = 4 → p + q = 9.
핵심은 “도형 조건 → 식” 번역입니다. 길이 같음은 거리 공식, 평행은 기울기 같음으로 옮긴다는 두 약속만 기억하면 흐름이 자연스럽게 풀립니다.
⚠️ 자주 하는 실수
(q − p)² = 1 을 풀면 q − p = ±1 두 가지가 나옵니다. 여기서 조건 (가) “CD의 기울기가 음수”를 놓치면 q − p = +1 까지 잘못 채택해 오답으로 이어집니다. 부호 조건을 식 변환의 ‘제약’으로 먼저 적어두는 습관이 실수를 막아 줍니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 키워드
이 문제를 풀려면 이번 단원 밖의 다음 개념이 함께 동원됩니다. 클릭하면 정리 포스트로 이동합니다.
· 등변꼴 사다리꼴 감각 — 두 변이 평행하고 나머지 두 변(다리)의 길이가 같은 도형. 다만 이 문제는 도형 이름을 몰라도 “평행 = 기울기 같음, 길이 같음 = 거리 같음” 두 약속만으로 곧장 식이 세워집니다.
▶️ 해설 동영상
※ 동영상은 준비되는 대로 업로드 예정입니다.
🖼️ 해설 이미지
※ 해설 2페이지(STEP B·C)는 업로드 후 게시됩니다.
📘 관련 개념정리 포스트
이 문제의 풀이 흐름(기울기 → 평행)을 개념부터 다지고 싶다면:
※ 추천 개념정리: ① 두 점을 지나는 직선의 기울기 공식(C020) · ② 두 직선의 평행 조건(C038) — 발행되면 활성화됩니다.
✏️ 관련 연산연습 포스트
기울기 계산·비교(두 점·평행)를 손에 익히고 싶다면:
※ 추천 연산연습: ① 기울기 구하기·비교(두 점·tanθ·평행) 반복 훈련(P002) — 발행되면 활성화됩니다.