수능 출제 맥락 분석
이 유형, 수능에서 왜 중요한가?
- 📌 평면좌표 단원에서 내분점 공식은 거의 매년 출제되는 기본 도구이며, 단독 문제보다 다른 조건(교점, 넓이, 기울기)과 결합되어 복합 문항으로 등장합니다.
- 📌 이차함수와 직선의 교점 좌표를 직접 구하는 대신, 근과 계수의 관계(비에타 공식)로 처리하면 계산이 대폭 단순화됩니다 — 수능 고득점자가 반드시 쓰는 전략입니다.
- 📌 내분점 조건이 주어지면 추가 연립방정식이 생성되어 미지수(k)를 결정할 수 있다는 구조를 꿰뚫어야 합니다.
- 📌 수능 21번·29번·30번 레벨에서는 이 유형이 삼각함수, 함수 그래프 이동과 결합되어 더 복잡한 형태로 출제됩니다. 이 문제를 완벽히 이해해야 그 레벨로 확장 가능합니다.
출제의도 & 풀이 핵심 맥락
무엇을 묻는 문제인가?
이차함수와 직선이 만나는 두 교점 P, Q의 좌표를 직접 구하지 않고도, 내분점 조건 하나를 추가함으로써 미지수 k를 결정할 수 있는지를 묻는 문제입니다.
풀이 흐름 (3단계)
1
두 곡선의 교점 x좌표 α, β를 근으로 하는 이차방정식을 세우고, 근과 계수의 관계로 α+β, αβ를 k로 표현한다.
2
선분 PQ의 1:2 내분점 x좌표 = 1이라는 조건에서 내분점 공식을 적용해 α, β 사이의 추가 관계식을 구한다.
3
두 관계식을 연립하여 α = -2, β = 7을 구한 뒤, αβ = -k에 대입해 k = 14를 결정한다.
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