📌 단원·유형 한눈에 — 평면좌표 & 거리의 차 최댓값
평면좌표는 이후 배우는 직선·원의 방정식, 도형의 이동으로 곧장 이어지는 출발점 단원입니다. 수능·모평에서 좌표 위 점의 최대·최소는 단골 소재인데, 크게 두 갈래로 갈립니다.
① 거리의 합(PA+PB)의 최솟값 → 한 점을 직선에 대해 대칭이동시켜 일직선으로 만드는 유형
② 거리의 차(|PB−PA|)의 최댓값 → 삼각부등식(삼각형 세 변의 길이 관계)으로 처리하는 유형
이 문항은 ②에 해당합니다. 좌표 계산보다 “식으로 풀려고 하지 않고 도형의 성질로 한 번에 처리하는 안목”을 묻는 문제로, 고득점을 가르는 발상형 최댓값·최솟값 문제의 기본기를 다지는 대표 유형입니다.
1. 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
- 핵심 한 줄 : 동점 P를 좌표로 두고 거리식을 직접 미분·전개하면 함정. 두 정점 A, B와 동점 P가 만드는 삼각형에 주목합니다.
- 삼각부등식 적용 : 세 점이 삼각형을 이룰 때 한 변의 길이는 나머지 두 변의 차보다 큽니다. 따라서 |PB−PA| < AB 가 성립합니다.
- 등호(=최댓값) 조건 : 세 점 A, B, P가 한 직선 위에 놓일 때 |PB−PA| = AB 로 최댓값을 가집니다. → 직선 AB의 연장선이 x축과 만나는 점이 바로 그 P.
- 마무리 : 결국 구하는 값의 최댓값은 두 정점 사이 거리 AB 로 결정되므로, 두 점 사이의 거리 공식 한 번이면 끝납니다. (제곱값이므로 AB2 가 답)
2. 풀이에 필요한 핵심 키워드
이 문제를 풀려면 해당 단원 밖의 다음 개념이 도구로 동원됩니다.
🔺 삼각부등식 (삼각형 세 변의 길이 관계) 📐 두 점 사이의 거리 공식
3. 해설 동영상
4. 해설 이미지
