개념 265: 로그방정식
1. 로그방정식
\( \log_a x = 3 \), \( \log_2 5 \), \( (\log x)^2 + \log x = 2 \) 와 같이 로그의 진수 또는 밑에 미지수가 있는 방정식을 로그방정식이라 합니다.
2. 로그방정식의 풀이
- 밑을 같게 할 수 있는 경우
주어진 방정식을 \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \) ( \( a > 0, a \neq 1 \) ) 꼴로 변형한 후, \( f(x) = g(x) \) 를 이용하여 풉니다.
\[ \log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x) \quad (f(x) > 0, g(x) > 0) \] - 로그가 \( f(x) = b \) 꼴인 경우
\( \log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b \) 를 이용하여 풉니다. - 로그가 반복되는 경우
\( \log_a x = t \) 로 치환 후, \( t \) 에 대한 방정식을 풉니다. - 진수가 같은 경우
밑이 같거나 진수가 1임을 이용하여 풉니다.
\[ \log_{a(x)} f(x) = \log_{b(x)} f(x) \quad (a(x) > 0, a(x) \neq 1, b(x) > 0, b(x) \neq 1) \] \( a(x) = b(x) \) 또는 \( f(x) = 1 \) 을 만족합니다. - 지수에 로그가 있는 경우
지수에 로그가 있는 방정식은 양변에 로그를 취하여 로그방정식으로 변형합니다.
Remark
로그방정식을 풀 때, 구한 미지수의 값이 밑의 조건 또는 진수의 조건을 만족시키는지 반드시 확인해야 합니다.
개념 살펴보기
로그 함수 \( y = \log_a x \) ( \( a > 0, a \neq 1 \) )는 양의 실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로의 일대일 대응이므로, 임의의 실수 \( p \) 에 대하여 방정식 \( \log_a x = p \) 는 단 하나의 해를 가집니다.
이때 이 방정식의 해는 로그 함수 \( y = \log_a x \) 의 그래프와 직선 \( y = p \) 의 교점의 \( x \)-좌표와 같습니다.
예제
밑을 같게 할 수 있는 경우
방정식 \( \log_2 x = \log_2 (2x – 5) \) 의 해를 구해 봅시다.
진수의 조건에서 \( x > 0 \), \( 2x – 5 > 0 \) 이므로 \( x > \frac{5}{2} \) 입니다.
양변의 로그를 같게 하면
\( \log_2 x = \log_2 (2x – 5) \) 에서 \( x = 2x – 5 \), 즉 \( x = 5 \).
그러므로 \( x = 5 \) 는 진수의 조건을 만족하므로 해가 됩니다.
이와 같이 밑을 같게 할 수 있는 경우에는 \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \) ( \( a > 0, a \neq 1 \) ) 꼴로 변형하여 방정식 \( f(x) = g(x) \) 의 해를 구합니다. 이것이 로그방정식의 가장 일반적인 풀이 방법입니다.
로그방정식 풀이
(2) \( \log_a f(x) = b \) 꼴인 경우
방정식 \( \log_2 x = 3 \) 의 해를 구해 봅시다.
로그의 정의에 의하여 \( \log_2 x = 3 \iff x = 2^3 \), 즉 \( x = 8 \).
이는 진수의 조건을 항상 만족합니다.
(3) \( \log x \) 꼴이 반복되는 경우
방정식 \( (\log_2 x)^2 + \log_2 x – 2 = 0 \) 의 해를 구해 봅시다.
\( \log_2 x = t \) 로 놓으면 \( t^2 + t – 2 = 0 \).
이를 이차방정식으로 풀이하면 \( (t+2)(t-1) = 0 \), 따라서 \( t = -2 \) 또는 \( t = 1 \).
즉, \( \log_2 x = -2 \) 또는 \( \log_2 x = 1 \) 이므로 \( x = 2^{-2} = \frac{1}{4} \) 또는 \( x = 2 \).
이와 같이 \( \log x \) 꼴이 반복되는 경우에는 \( \log x = t \) 로 치환한 후 \( t \) 에 대한 방정식을 풀이합니다.
(4) 진수가 같은 경우
\( \log_1 1 = \log_3 1 = 0 \) 과 같이 밑이 달라도 진수가 1이면 등식이 성립합니다.
따라서 \( \log_{a(x)} f(x) = \log_{b(x)} f(x) \) ( \( a(x) > 0, a(x) \neq 1, b(x) > 0, b(x) \neq 1 \) ) 꼴의 방정식의 해는 \( a(x) = b(x) \) 또는 \( f(x) = 1 \) 을 만족합니다.
개념 확인 문제
다음 로그방정식을 푸세요.
- \( \log_2 (6 – x) = 2 \log_2 x \)
- \( \log_3 (x – 1) = 2 \)
- \( (\log x)^2 – 3 \log x = 0 \)
- \( \log_3 (2x + 3) = \log_5 (2x + 3) \)
풀이
- (1) 진수의 조건에서 \( 6 – x > 0 \), \( x > 0 \) 이므로 \( 0 < x < 6 \).
- \( \log_2 (6 – x) = 2 \log_2 x \) 에서
\( \log_2 (6 – x) = \log_2 x^2 \) 이므로 \( 6 – x = x^2 \),
즉 \( x^2 + x – 6 = 0 \) 을 풀면 \( x = 3 \) 또는 \( x = -2 \).
조건을 만족하는 \( x = 3 \) 이 해입니다. - (2) \( \log_3 (x – 1) = 2 \) 에서 \( x – 1 = 3^2 = 9 \) 이므로 \( x = 10 \).
- (3) \( (\log x)^2 – 3 \log x = 0 \) 에서 \( \log x = t \) 로 놓으면
\( t(t – 3) = 0 \) 이므로 \( t = 0 \) 또는 \( t = 3 \), 즉 \( \log x = 0 \) 또는 \( \log x = 3 \). - 따라서 \( x = 10^0 = 1 \) 또는 \( x = 10^3 = 1000 \).
- (4) 주어진 방정식에서 \( 2x + 3 = 1 \) 이므로 \( x = -1 \).
정답
- (1) \( x = 3 \)
- (2) \( x = 10 \)
- (3) \( x = 1 \) 또는 \( x = 1000 \)
- (4) \( x = -1 \)
Remark
\( \log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b \) 에서 \( a^b > 0 \) 이므로 \( f(x) > 0 \) 입니다.
즉, 진수의 조건을 항상 만족하기 때문에 (2), (3)에서 구한 해의 진수 조건을 추가로 확인할 필요가 없습니다.