고등수학개념사전 264로그함수의 특별한 성질

개념 264: 로그 함수의 특별한 성질

로그 함수가 갖는 특별한 성질에 대해 알아봅시다.

로그 함수 \( f(x) = \log_a x \) ( \( a > 0, a \neq 1 \) )에 대해 다음이 성립합니다. (단, \( p > 0, q > 0 \))

1. \( f(1) = 0 \), \( f(a) = 1 \)
2. \( f(pq) = f(p) + f(q) \)
3. \( f \left( \frac{p}{q} \right) = f(p) – f(q) \)
4. \( f(p^n) = n f(p) \) (단, \( n \) 은 실수)

성질 증명

위의 성질을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있습니다.

1. \( f(1) = \log_a 1 = 0 \), \( f(a) = \log_a a = 1 \)
2. \( f(pq) = \log_a pq = \log_a p + \log_a q = f(p) + f(q) \)
3. \( f \left( \frac{p}{q} \right) = \log_a \frac{p}{q} = \log_a p – \log_a q = f(p) – f(q) \)
4. \( f(p^n) = \log_a p^n = n \log_a p = n f(p) \)

개념 확인 문제

로그 함수 \( f(x) = \log_3 x \) 에 대하여 보기에서 옳은 것만을 고르세요.

보기

• ㄱ. \( f(3) = 1 \)
• ㄴ. \( f(10) = f(2) + f(5) \)
• ㄷ. \( f(4) = \frac{f(8)}{f(2)} \)
• ㄹ. \( 3f(5) = f(15) \)

풀이

• ㄱ. \( f(3) = \log_3 3 = 1 \) 이므로 옳다.
• ㄴ. \( f(10) = \log_3 10 = \log_3 (2 \times 5) = \log_3 2 + \log_3 5 = f(2) + f(5) \) 이므로 옳다.
• ㄷ. \( f(4) \neq \frac{f(8)}{f(2)} \), \( f(8) = \log_3 8 = \log_3 2^3 = 3 \log_3 2 \) 이므로 틀렸다.
• ㄹ. \( 3f(5) = 3 \log_3 5 = \log_3 5^3 = \log_3 125 \), 반면 \( f(15) = \log_3 15 \) 이므로 \( 3f(5) \neq f(15) \), 따라서 틀렸다.

정답

보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다.