합집합의 원소 개수
세 유한집합 \( A, B, C \)에 대해 다음이 성립해요.
- \( n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) \)
- \( n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A \cap B) – n(B \cap C) – n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C) \)
주의할 점: 원소 개수를 구하는 문제에서는 무작정 공식을 외우기보다, 벤다이어그램을 활용하는 것이 좋아요.
개념확인문제
다음 문제를 풀어보세요.
- 두 집합 \( A, B \)에 대해 \( n(A) = 30 \), \( n(B) = 25 \), \( n(A \cup B) = 43 \)일 때, \( n(A \cap B) \)를 구하세요.
- 세 집합 \( A, B, C \)에 대해 \( n(A) = 8 \), \( n(B) = 12 \), \( n(C) = 9 \), \( n(A \cap B) = 5 \), \( n(B \cap C) = 6 \), \( n(C \cap A) = 4 \), \( n(A \cup B \cup C) = 18 \)일 때, \( n(A \cap B \cap C) \)를 구하세요.
풀이:
- (1) \( n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) \)에서 \( 43 = 30 + 25 – n(A \cap B) \)이므로 \( n(A \cap B) = 12 \)
- (2) \( n(A \cup B \cup C) \) 공식을 이용하여 \( 18 = 8 + 12 + 9 – 5 – 6 – 4 + n(A \cap B \cap C) \)에서 \( n(A \cap B \cap C) = 4 \)
정답: (1) 12, (2) 4