배수의 집합의 연산
자연수 \(k\)의 양의 배수의 집합을 \(A_k\)라 할 때, 두 자연수 \(m, n\)에 대하여 다음과 같은 성질이 성립해요.
일반적인 성질
- \(A_m \cap A_n = A_{\text{lcm}(m,n)}\): 최소공배수의 배수 집합이에요.
- \(A_m \cup A_n = A_m \iff A_n \subset A_m \iff m \text{은 } n \text{의 약수}\)
주의할 점: 자연수의 배수집합 연산 시 최소공배수와 약수 관계를 잘 파악해야 해요.
개념확인문제
자연수 전체의 집합의 부분집합 \(A_k = \{x \mid x \text{는 } k \text{의 배수}\}\)에 대하여 다음에 답하세요. (단, \(k\)는 자연수입니다.)
- \(A_m \subset (A_3 \cap A_4)\)을 만족시키는 자연수 \(m\)의 최솟값을 구해보세요.
- \((A_3 \cup A_4) \cap A_n = A_4\)를 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구해보세요.
풀이:
- (1) \(A_3 \cap A_4\)는 3과 4의 최소공배수인 12의 배수 집합이에요. 따라서 \(m\)의 최솟값은 12가 돼요.
- (2) \((A_3 \cup A_4) \cap A_n = A_4\)가 되려면 \(A_4 \subset A_n\)이 성립해야 하므로, \(n\)은 4의 약수여야 해요. 따라서 \(n=4\)가 돼요.
정답: (1) 12, (2) 4