대칭차집합 개념살펴보기 ✨
안녕하세요! 오늘은 집합 연산 중 대칭차집합에 대해 함께 공부해 볼게요. 수학 문제 풀이에 자주 등장하는 개념이니 차근차근 이해해 봅시다!
1. 대칭차집합의 정의 📚
전체집합 \( U \)의 두 부분집합 \( A, B \)에 대해 연산 \( \triangle \)을 다음과 같이 정의해요:
\[
A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)
\]
이것은 벤다이어그램에서 두 집합의 겹치지 않는 부분을 의미합니다. 다른 표현으로도 나타낼 수 있어요:
- \( (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) \)
- \( (A \cup B) \setminus (A \cap B) \)
2. 대칭차집합의 성질 🔍
- 교환법칙: \( A \triangle B = B \triangle A \)
- 결합법칙: \( (A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C) \)
- 항등원: \( A \triangle \varnothing = A \)
- 자기 자신과의 연산: \( A \triangle A = \varnothing \)
3. 개념확인문제 💡
문제: 연산 \( \circ \)를 \( A \circ B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \)로 정의할 때, \( A^c \circ B^c = A \circ B \)임을 증명하시오.
풀이과정:
\[ \begin{aligned} A^c \circ B^c &= (A^c \setminus B^c) \cup (B^c \setminus A^c) \\ &= (A^c \cap B) \cup (B^c \cap A) \quad \because (X^c \setminus Y^c = X^c \cap Y) \\ &= (B \setminus A) \cup (A \setminus B) \\ &= A \circ B \quad \blacksquare \end{aligned} \]주의할점 ⚠️
- 여집합 연산 시 \( (X^c)^c = X \)임을 활용해야 해요.
- 합집합은 교환법칙이 성립하므로 순서를 바꿔 표현할 수 있어요.