합집합과 교집합에 대한 성질
두 집합 \( A, B \)에 대해 다음이 성립해요.
- \( A \cup \emptyset = A \), \( A \cap \emptyset = \emptyset \)
- \( A \cup A = A \), \( A \cap A = A \)
- \( A \cup (A \cap B) = A \), \( A \cap (A \cup B) = A \)
주의할 점: \( A \cap B \)는 \( A \)의 부분집합이면서 동시에 \( B \)의 부분집합이에요. 즉, \( (A \cap B) \subset A \), \( (A \cap B) \subset B \)
또한, \( A \)와 \( B \)는 각각 \( A \cup B \)의 부분집합이에요. 즉, \( A \subset (A \cup B) \), \( B \subset (A \cup B) \)
또한, \( A \)와 \( B \)는 각각 \( A \cup B \)의 부분집합이에요. 즉, \( A \subset (A \cup B) \), \( B \subset (A \cup B) \)
개념 살펴보기
합집합과 교집합에 대한 성질 \( 1 \), \( 2 \)는 모두 직관적으로 이해할 수 있는 내용이에요. 절대 외우지 말고, 당연한 개념으로 받아들이면 돼요.
성질 \( 3 \)은 벤다이어그램으로 간단히 확인할 수 있어요.
개념 확인 문제
다음 중 옳지 않은 것은?
- \( (A \cup \emptyset) \cap A = A \)
- \( (A \cap \emptyset) \cup A = A \)
- \( (A \cup A) \cap \emptyset = A \)
- \( (A \cap A) \cup \emptyset = A \)
- \( B \cap (A \cup B) = B \)
풀이:
- \( (A \cup \emptyset) \cap A = A \cap A = A \)
- \( (A \cap \emptyset) \cup A = \emptyset \cup A = A \)
- \( (A \cup A) \cap \emptyset = A \cap \emptyset = \emptyset \) → 잘못된 표현!
- \( (A \cap A) \cup \emptyset = A \cup \emptyset = A \)
- \( B \subset (A \cup B) \)이므로 \( B \cap (A \cup B) = B \)
정답: ③