집합의 연산 법칙
세 집합 \( A, B, C \)에 대해 다음이 성립해요.
- 교환법칙: \( A \cup B = B \cup A \), \( A \cap B = B \cap A \)
- 결합법칙: \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \), \( (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \)
- 분배법칙: \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \),
\( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
주의할 점: 집합의 연산에서는 결합법칙이 성립하므로 괄호를 사용하지 않고, \( A \cup B \cup C \), \( A \cap B \cap C \)와 같이 나타내기도 해요.
개념 살펴보기
합집합과 교집합의 교환법칙과 결합법칙은 직관적으로 알 수 있으므로, 여기서는 분배법칙이 성립함을 벤다이어그램을 이용하여 확인해 볼게요.
- \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)
- \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
주의할 점: 집합의 연산에서의 분배법칙은 수의 연산과 비교하면 이해하기 쉬워요.
\( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \) ↔ \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)
\( a + (b \times c) = (a + b) \times (a + c) \) ↔ \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
\( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \) ↔ \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)
\( a + (b \times c) = (a + b) \times (a + c) \) ↔ \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
개념 확인 문제
세 집합 \( A, B, C \)에 대해 \( A \cap B = \{ a, b, c \} \), \( A \cap C = \{ a, d \} \)일 때, \( A \cap (B \cup C) \)를 구해볼까요?
풀이:
\( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)
\( = \{ a, b, c \} \cup \{ a, d \} \)
\( = \{ a, b, c, d \} \)
정답: \( \{ a, b, c, d \} \)