고등수학개념사전 148부분집합의 개수

📌 부분집합과 진부분집합의 개수

집합 \( A = \{a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n\} \)의 부분집합과 진부분집합의 개수는 다음과 같이 구해요.

• 집합 \( A \)의 부분집합의 개수 ➡️ \(2^n\)
• 집합 \( A \)의 진부분집합의 개수 ➡️ \(2^n – 1\)

📗 개념살펴보기

예를 들어 집합 \(A=\{a,b,c\}\)의 부분집합의 개수를 구해 볼까요?

세 원소 \(a, b, c\) 각각이 부분집합에 속하거나 속하지 않는 두 가지 경우를 생각하면 총 개수는 \(2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\)개랍니다.

즉, 원소가 \(n\)개인 집합의 부분집합의 개수는 \(2^n\)이에요.

진부분집합은 전체집합 자기 자신을 제외한 부분집합이므로, \(2^n – 1\)개가 되겠죠?

✅ 개념확인문제

집합 \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)에 대하여 다음을 구해볼까요?

1. 집합 \( A \)의 부분집합의 개수
2. 집합 \( A \)의 진부분집합의 개수

📖 풀이

1. 집합 \( A \)의 원소의 개수는 5이므로, 부분집합의 개수는 \(2^5 = 32\)
2. 진부분집합의 개수는 전체 부분집합에서 자기 자신을 제외해야 하므로 \(32 – 1 = 31\)

정답: (1) 32 (2) 31