개념 132 원의 접선의 길이
오른쪽 그림처럼 원 밖의 점 \(P\)에서 원에 그은 접선이 원과 만나는 점을 \(T\)라 할 때, 선분 \(PT\)의 길이를 접선의 길이라고 해요.
원의 접선은 원의 중심과 접점을 잇는 직선과 수직이에요.
즉, \(OT \perp PT\)이므로 삼각형 \(OTP\)는 직각삼각형이랍니다.
따라서 피타고라스 정리에 의하면
\[OP^2=OT^2+PT^2\]
즉 \(PT^2=OP^2-OT^2\)이므로 접선의 길이 \(PT\)는
\[PT=\sqrt{OP^2-OT^2}\]
이라고 구할 수 있어요.
이때 \(OP\)의 길이는 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 구하고, \(OT\)는 원의 반지름을 이용하면 접선의 길이 \(PT\)를 구할 수 있어요.
주의할점
원 밖의 점에서 원에 그을 수 있는 접선은 2개이고 두 접선의 길이는 항상 같으므로 접선의 길이를 구할 때에는 한 접선에 대해서만 생각해도 돼요.
개념확인문제
점 \(P(0, -2)\)에서 원 \((x+1)^2+(y-1)^2=3\)에 그은 접선의 길이를 구해볼게요.
풀이
점 \(P(0, -2)\)에서 원의 중심 \(C(-1, 1)\)까지의 거리를 구하면
\[CP=\sqrt{(0+1)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{10}\]
원의 반지름 \(CT\)는 \(\sqrt{3}\)이에요.
따라서 접선의 길이 \(PT\)는 피타고라스 정리에 의해
\[PT=\sqrt{CP^2-CT^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{7}\]
이에요.
구하는 접선의 길이는 \(\sqrt{7}\)이랍니다.
정답: \(\sqrt{7}\)