개념 130 원 위의 점에서의 접선의 방정식
원 위의 점에서의 접선의 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있어요.
- ① 원 \(x^2+y^2=r^2\) 위의 점 \((x_1,y_1)\)에서의 접선의 방정식은
\[x x_1+y y_1=r^2\] - ② 원 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 위의 점 \((x_1,y_1)\)에서의 접선의 방정식은
\[(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2\] - ③ 원 \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\) 위의 점 \((x_1,y_1)\)에서의 접선의 방정식은
\[x x_1+y y_1+A\cdot\frac{x+x_1}{2}+B\cdot\frac{y+y_1}{2}+C=0\]
주의할점: 위의 공식들은 각각의 원 방정식에서 손쉽게 유도할 수 있어요. 여러 번 읽어보면 금방 익숙해질 거예요.
개념살펴보기
원 \(x^2+y^2=r^2(r>0)\) 위의 점 \(P(x_1,y_1)\)에서 접선의 방정식을 구해볼게요.
- (ⅰ) \(y_1 \ne 0\)일 때, 접선의 방정식은 기울기의 관계를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있어요.
\[y – y_1 = -\frac{x_1}{y_1}(x – x_1)\quad\therefore\quad x x_1 + y y_1 = r^2\] - (ⅱ) \(x_1=0\) 또는 \(y_1=0\)일 때, 접선의 방정식은
\[x=\pm r\quad \text{또는}\quad y=\pm r\]
결국 두 경우 모두 접선의 방정식은 간단히 다음과 같이 표현할 수 있답니다.
\[x x_1 + y y_1 = r^2\]
개념확인문제
원 \(x^2+y^2=25\) 위의 점 \((3,-4)\)에서의 접선의 방정식을 구해 보세요.
풀이
\[3x+(-4)y=25\quad\therefore\quad 3x-4y-25=0\]
정답: \(3x-4y-25=0\)