개념 129 기울기가 주어진 원의 접선의 방정식
원 \(x^2+y^2=r^2(r>0)\)에 접하고 기울기가 \(m\)인 직선의 방정식은 다음과 같아요.
\[y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}\]
주의할점: 기울기가 \(m\)으로 정해져 있으므로 \(y\)절편만 주의하여 기억하면 돼요.
개념살펴보기
원 \(x^2+y^2=r^2\)에 접하고 기울기가 \(m\)인 직선의 방정식을 두 가지 방법으로 구해 볼까요?
방법 1: 판별식 이용
구하는 직선의 방정식을 \(y=mx+n\)이라 하고 원의 방정식 \(x^2+y^2=r^2\)에 대입하면
\[x^2+(mx+n)^2=r^2\]
\[(1+m^2)x^2+2mnx+n^2-r^2=0\]
이 이차방정식의 판별식을 \(D\)라 하면 원과 직선이 접하므로
\[\frac{D}{4}=(mn)^2-(1+m^2)(n^2-r^2)=0\]
\[r^2(1+m^2)-n^2=0\quad \therefore\quad n=\pm r\sqrt{1+m^2}\]
따라서 접선의 방정식은 다음과 같아요.
\[y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}\]
방법 2: 원의 중심과 접선 사이의 거리 이용
구하는 직선의 방정식을 \(y=mx+n\), 즉 \(mx-y+n=0\)이라 하면 원의 중심 \((0,0)\)과 직선 사이의 거리가 원의 반지름 \(r\)과 같아야 하므로
\[\frac{|n|}{\sqrt{m^2+1}}=r\quad \therefore\quad n=\pm r\sqrt{1+m^2}\]
따라서 접선의 방정식은 역시 다음과 같아요.
\[y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}\]
개념확인문제
원 \(x^2+y^2=9\)에 접하고 기울기가 \(2\)인 직선의 방정식을 모두 구해보세요.
풀이
원 \(x^2+y^2=9\)의 반지름의 길이는 \(3\)이므로 구하는 직선의 방정식은
\[y=2x\pm 3\sqrt{1+2^2}\quad\therefore\quad y=2x\pm 3\sqrt{5}\]
정답: \(y=2x-3\sqrt{5},\quad y=2x+3\sqrt{5}\)