개념 128 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식
서로 다른 두 점에서 만나는 두 원
\[O: x^2+y^2+ax+by+c=0, \quad O’: x^2+y^2+a’x+b’y+c’=0\]
의 교점을 지나는 원 중에서 원 \(O’\)를 제외한 원의 방정식은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있어요.
\[x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+a’x+b’y+c’)=0\quad(단, k\neq -1)\]
주의할점: \(k=-1\)이면 두 원의 공통현의 방정식이 됩니다.
개념살펴보기
서로 다른 두 점에서 만나는 두 원의 교점은 두 원의 방정식을 동시에 만족해요. 따라서, 두 방정식을 적절히 결합하여 얻은 방정식도 두 원의 교점을 지나게 된답니다.
- (ⅰ) \(k=-1\)일 때는 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식, 즉 공통현의 방정식이 돼요.
- (ⅱ) \(k\neq -1\)일 때는 \(x^2\), \(y^2\) 항이 존재하므로 원의 방정식이 돼요.
이때 어떤 \(k\) 값을 갖더라도 원 \(O’\)을 표현하지 않아요.
개념확인문제
두 원 \(x^2+y^2-4=0\), \(x^2+y^2+4x+4y-2=0\)의 교점과 점 \((2,-2)\)를 지나는 원의 방정식을 구해보세요.
풀이
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을
\[x^2+y^2-4+k(x^2+y^2+4x+4y-2)=0\quad (k\neq -1)\]
라고 놓으면, 이 원이 점 \((2,-2)\)를 지나므로
\[(4+4-4)+k(4+4+8-2)=0\]\[4+14k=0\quad \therefore\quad k=-\frac{2}{7}\]
따라서 구하는 원의 방정식은
\[x^2+y^2-4-\frac{2}{7}(x^2+y^2+4x+4y-2)=0\]
정리하면 다음과 같아요.
\[5x^2+5y^2+8x+8y-26=0\]
정답: \(5x^2+5y^2+8x+8y-26=0\)