쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
497번 · 공통근 서술형 심화 — \(k\) 값 모두 구하고 각각의 공통근 제시
— 두 방정식 빼기 → α 후보 → k 후보 → 검증까지 완성!
난이도 : 상✍️ 서술형
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (공통근 서술형 완전 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 두 방정식 빼기 → 공통근 α를 k의 식으로 표현 → 원래 방정식 대입 → k 이차방정식
- ✍️ 서술형 채점: α 도출, k 결정, 공통근 명시까지 전 과정
- ⚠️ k값마다 공통근이 다를 수 있으므로 각각 확인
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+3x+k=0\)과 \(x^2+(k-1)x+3=0\)이 공통근을 가질 때,
모든 실수 \(k\)의 값과 각각의 공통근을 구하는 서술형 문제입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
공통근을 α로 놓고 두 방정식 빼기
\[\alpha^2+3\alpha+k=0 \quad\cdots\text{①}\] \[\alpha^2+(k-1)\alpha+3=0 \quad\cdots\text{②}\] ①-②: \(3\alpha+k-(k-1)\alpha-3=0\)
\[(3-k+1)\alpha+(k-3)=0\] \[(4-k)\alpha+(k-3)=0\]
\[\alpha^2+3\alpha+k=0 \quad\cdots\text{①}\] \[\alpha^2+(k-1)\alpha+3=0 \quad\cdots\text{②}\] ①-②: \(3\alpha+k-(k-1)\alpha-3=0\)
\[(3-k+1)\alpha+(k-3)=0\] \[(4-k)\alpha+(k-3)=0\]
2
경우 분류
경우 1: \(k=4\)
\((4-4)\alpha+(4-3)=0 \implies 1=0\) — 불가능, 기각
경우 2: \(k\neq4\)
\(\alpha=\dfrac{3-k}{4-k}\)를 ①에 대입 → k에 대한 방정식 수립
경우 1: \(k=4\)
\((4-4)\alpha+(4-3)=0 \implies 1=0\) — 불가능, 기각
경우 2: \(k\neq4\)
\(\alpha=\dfrac{3-k}{4-k}\)를 ①에 대입 → k에 대한 방정식 수립
3
k 결정 (해설 이미지 참조)
대입 후 정리하면 \(k\)에 대한 이차방정식이 나옵니다.
각 \(k\) 값에서의 공통근을 계산합니다.
대입 후 정리하면 \(k\)에 대한 이차방정식이 나옵니다.
각 \(k\) 값에서의 공통근을 계산합니다.
정답 : 풀이 영상과 해설 이미지로 k값과 공통근을 확인하세요.
✍️ 서술형 채점 포인트
① 공통근 α 설정 및 두 방정식 설정 (2점)
② 두 방정식 빼서 α를 k의 식으로 표현 (3점)
③ 원래 방정식에 대입해 k 결정 (3점)
④ 각 k에 대한 공통근 명시 (2점)
② 두 방정식 빼서 α를 k의 식으로 표현 (3점)
③ 원래 방정식에 대입해 k 결정 (3점)
④ 각 k에 대한 공통근 명시 (2점)
🧠 외워두면 좋은 패턴
공통근+매개변수 서술형 최종 루틴
① 공통근 α 설정 → 두 방정식에 대입
② 두 방정식 빼기 → α를 k의 식으로 (또는 k를 α의 식으로)
③ 한 방정식에 대입 → k 결정 (이차방정식 생성 가능)
④ k값마다 공통근 확인 + 이차방정식 성립 여부 검증
① 공통근 α 설정 → 두 방정식에 대입
② 두 방정식 빼기 → α를 k의 식으로 (또는 k를 α의 식으로)
③ 한 방정식에 대입 → k 결정 (이차방정식 생성 가능)
④ k값마다 공통근 확인 + 이차방정식 성립 여부 검증
⚠️ 이런 실수 조심!
- 4-k=0인 경우 분리해서 처리하지 않는 실수 — 나누기 전 k=4 경우 별도 확인!
- k값만 구하고 공통근을 구하지 않는 실수 — 서술형에서 공통근도 반드시 명시!
- k가 두 값이 나올 때 하나만 확인하는 실수 — 두 k값 모두 검증 필요!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
6분
수능·모의고사
4분
🖼️ 교재 해설 이미지
