쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
494번 · 두 근의 합·곱 조건으로 원래 이차방정식 결정 (서술형)
— 역방향 적용! 새 근의 합·곱 → 원래 α+β, αβ 역산
난이도 : 상✍️ 서술형
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (역방향 근과 계수 추적)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 새 두 근의 합·곱에서 원래 α+β, αβ를 역산
- ✍️ 서술형 채점: 연립 과정, α+β·αβ 도출, 최종 방정식 제시
- ⚠️ 실수 계수 이차방정식 조건 확인
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
실수 계수 이차방정식 \(x^2+px+q=0\)의 두 근 \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여
\(\alpha+2\), \(\beta+2\)를 두 근으로 하는 이차방정식이 \(x^2-3x+1=0\)일 때,
\(p+q\)의 값을 구하는 서술형 문제입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
새 이차방정식에서 새 두 근의 합·곱 파악
\(x^2-3x+1=0\)의 두 근 \(\alpha+2\), \(\beta+2\)에 대해:
\((\alpha+2)+(\beta+2)=3 \implies (\alpha+\beta)+4=3 \implies \alpha+\beta=-1\)
\((\alpha+2)(\beta+2)=1 \implies \alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=1 \implies \alpha\beta-2+4=1 \implies \alpha\beta=-1\)
\(x^2-3x+1=0\)의 두 근 \(\alpha+2\), \(\beta+2\)에 대해:
\((\alpha+2)+(\beta+2)=3 \implies (\alpha+\beta)+4=3 \implies \alpha+\beta=-1\)
\((\alpha+2)(\beta+2)=1 \implies \alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=1 \implies \alpha\beta-2+4=1 \implies \alpha\beta=-1\)
2
원래 이차방정식 계수 결정
\(x^2+px+q=0\)에서 \(-p=\alpha+\beta=-1\), \(q=\alpha\beta=-1\)
따라서 \(p=1\), \(q=-1\)
\(x^2+px+q=0\)에서 \(-p=\alpha+\beta=-1\), \(q=\alpha\beta=-1\)
따라서 \(p=1\), \(q=-1\)
3
p+q 계산
\[p+q = 1+(-1) = 0\]
\[p+q = 1+(-1) = 0\]
정답 : \(p+q=0\)
✍️ 서술형 채점 포인트
① 새 이차방정식에서 두 근의 합·곱 설정
② α+β, αβ 역산 과정 명시
③ 원래 방정식 계수 p, q 결정
④ p+q 최종값 제시
② α+β, αβ 역산 과정 명시
③ 원래 방정식 계수 p, q 결정
④ p+q 최종값 제시
⚠️ 이런 실수 조심!
- (α+2)(β+2) 전개 시 상수항 +4 빠뜨리는 실수
- 원래 방정식에서 -p=α+β이므로 p=-（α+β） — 부호 주의!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
5분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
