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접점·교점 조건은 전부 g(x)=f(x)−½x의 근으로 번역된다. ‘원점에서 접한다’=x=0이 중근 → x² 인수. ‘A, B에서 만난다’=(x−a)(x−b) 인수. 최고차 계수가 1이므로 f(x)−½x=x²(x−a)(x−b)=x⁴−(a+b)x³+abx². 이 차 함수를 세우는 순간 문제의 절반이 끝난다.
◀ 접함 = 중근(제곱 인수), 교차 = 일차 인수
S₁(위)과 S₂(아래)는 x축이 아니라 직선 y=½x 기준의 위·아래다. 넓이가 같으면 부호 포함 ∫0b{f(x)−½x}dx=0. 대입해 계산하면 −b⁵/20+ab⁴/12=0 → 12b⁵=20ab⁴ → 3b=5a. 기준선이 x축이 아니어도 ‘(곡선−직선)의 정적분=0’은 그대로 성립한다.
◀ 넓이 같음 → (곡선−직선)의 정적분 = 0
A, B는 기울기 ½인 직선 위 점이다. x가 2 늘면 y는 1 늘어 이동 거리 단위가 √5. AB=√5이므로 x차이 b−a=2. 일반화하면 기울기 m 직선에서 거리 L일 때 b−a=L/√(1+m²). 3b=5a와 b−a=2를 연립하면 a=3, b=5.
◀ 직선 위 거리는 x차이 × √(1+기울기²)로 분해
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 접점·교점을 근으로 번역해 차 함수 f(x)−½x=x²(x−a)(x−b)를 세우는 게 출발이다. S₁=S₂는 직선 기준 정적분=0으로 옮겨 3b=5a를, AB=√5는 피타고라스로 b−a=2를 얻어 연립하면 a=3, b=5. 마지막에 f(x)를 완성해 f(1)을 대입한다.
실수 포인트 ① : ‘원점에서 접한다’를 단순 교점(일차 인수 x)으로 처리하는 실수. 접함은 중근이라 x² 인수여야 한다.
실수 포인트 ② : S₁=S₂를 x축 기준 넓이로 착각하는 실수. 기준선은 직선 y=½x이고, 차 함수의 정적분=0으로 세워야 맞다.
실수 포인트 ③ : AB 거리에서 y차이를 빼먹고 b−a=√5로 두는 실수. 기울기 ½ 때문에 실제 x차이는 2다. f(x)=x⁴−8x³+15x²+½x이므로 f(1)=1−8+15+½=17/2.
정답 : ⑤ (f(1)=17/2)