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A든 B든 포물선으로 둘러싸인 넓이다. 적분 노가다 대신 S=|최고차항계수|/6·(β−α)³로 끝내라. A는 y=−x²+4와 x축의 교점이 −2, 2, 계수 |−1|이므로 A=1/6·{2−(−2)}³=64/6=32/3.
◀ 포물선 넓이는 계수와 교점 간격만 알면 즉답
y=−x²+4에서 y=x²+2a를 빼면 −2x²+4−2a. 최고차항계수 −2, 두 근 ±√(2−a)인 이차식이다. 그대로 공식: B=|−2|/6·(2√(2−a))³=(8/3)(√(2−a))³. 두 곡선 사이 넓이는 ‘위−아래’의 최고차항계수만 뽑으면 된다.
◀ 두 곡선 넓이 = (위식−아래식)의 계수로 공식 적용
32/3 = 4×(8/3)(√(2−a))³ 를 정리하면 (√(2−a))³=1 → 2−a=1 → a=1. 복잡해 보여도 미지수는 √(2−a) 한 덩어리뿐. 넓이 비율 조건은 이 한 덩어리에 대한 방정식으로 번역하라.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : A, B 둘 다 포물선으로 둘러싸인 넓이이므로 6분의1 공식이 최단 경로다. A는 x축과의 넓이(계수 −1), B는 두 포물선 차(계수 −2)로 각각 공식에 넣고, A=4B에 대입하면 √(2−a)에 대한 방정식으로 압축된다.
실수 포인트 ① : B에서 ‘두 곡선의 차’의 최고차항계수를 −2가 아니라 −1로 쓰는 실수. 반드시 위식−아래식을 먼저 하고 계수를 확인하라.
실수 포인트 ② : B의 적분구간을 −2~2로 잡는 실수. B의 교점은 x축이 아니라 두 포물선의 교점 ±√(2−a)다.
실수 포인트 ③ : (√(2−a))³=1에서 세제곱을 놓치는 실수. 세제곱해서 1이면 밑도 1이므로 √(2−a)=1, 곧 2−a=1이다.
정답 : ① (a=1)