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∫abf=F(b)−F(a)=4, ∫bcf=F(c)−F(b)=−2. F(a)=1/2를 대입하면 F(b)=9/2, F(c)=5/2가 도미노처럼 결정된다. 정적분값은 부정적분 F의 ‘높이차’라는 것만 쓰면 세 극값이 전부 나온다.
◀ 정적분 = F의 높이차, 기준점 하나면 연쇄 계산
F′=f=0인 a, b, c에서 f의 부호가 a:−→+(극소), b:+→−(극대), c:−→+(극소). 즉 y=F(x)는 W자 사차함수로 극소 F(a)=1/2, 극대 F(b)=9/2, 극소 F(c)=5/2. 그래프 개형을 이 세 높이로 그려라.
◀ f의 부호표가 곧 F의 극대·극소 배치도
y=F(x)와 y=k가 4점에서 만나려면 k가 두 극솟값 중 큰 값(5/2)과 극댓값(9/2) 사이여야 한다. 즉 5/2 < k < 9/2. 정수 k는 3, 4뿐이므로 그 합은 7.
◀ 이 문제의 출제 포인트
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 그래프에서 f가 a, b, c를 지나며 부호가 −+−+로 바뀌므로 부정적분 F는 극소(a)·극대(b)·극소(c)를 갖는 W자 사차함수다. ∫abf=F(b)−F(a) 같은 ‘높이차’ 공식으로 F(a)=1/2에서 F(b), F(c)를 줄줄이 얻고, y=F(x)와 y=k의 교점이 4개가 되는 k의 범위(두 극소 중 큰 값 ~ 극대값)를 그래프로 읽어 정수만 센다.
실수 포인트 ① : ∫bcf=−2를 넓이로만 보고 부호를 놓쳐 F(c)를 잘못 잡는 실수. F(c)=F(b)+(−2)=9/2−2=5/2.
실수 포인트 ② : 네 실근 조건을 ‘두 극소 사이’가 아니라 ‘극소~극대 전 구간’으로 넓게 잡는 실수. 반드시 더 높은 극소(5/2) 위에서만 교점이 4개다.
실수 포인트 ③ : 부등호 5/2<k<9/2의 양 끝(2.5, 4.5)을 포함시켜 정수에 2나 5를 넣는 실수. 등호이면 접점이 생겨 근이 3개로 줄어든다. 정수는 3, 4뿐 → 합 7.
정답 : 7