문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
최고차항 양수인 삼차함수 f는 α, β, γ를 지나며 부호가 −, +, −, +로 바뀐다. g′=f이므로 g는 α에서 극소, β에서 극대, γ에서 극소. 문제의 ‘극댓값 0’은 곧 g(β)=0이라는 뜻이다. 극값의 ‘위치’부터 부호표로 확정하라.
◀ 극대/극소 위치는 f의 부호가 바뀌는 근에서 결정
구간별 면적을 A=∫0α(−f), B=∫αβf, C=∫βγ(−f)로 두면 h(β)=A+B=8, g(β)=−A+B=0. 연립하면 A=B=4. |f|는 넓이를 그대로 더하고, f는 축 아래를 −로 세는 차이가 문제의 뼈대다.
◀ h는 면적의 합, g는 부호 포함 — 이 대비가 핵심
h(γ)=A+B+C=24에서 C=16. 그러면 g(α)=−A=−4, g(γ)=−A+B−C=−4+4−16=−16. 따라서 g(α)−g(γ)=−4−(−16)=12. 각 구간 면적을 부호와 함께 다시 합치는 순간 답이 떨어진다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : g(x)=∫0xf, h(x)=∫0x|f|는 각각 ‘부호 포함 넓이’와 ‘순수 넓이’를 누적한다. f의 부호표(−+−+)로 g의 극대(β)·극소(α, γ) 위치를 먼저 잡고, 세 구간 넓이를 A, B, C로 치환하면 ‘극댓값 0(=g(β))’, h(β)=8, h(γ)=24가 전부 A, B, C에 대한 연립방정식으로 번역된다.
실수 포인트 ① : g의 극댓값이 β가 아닌 α나 γ에서 난다고 착각하는 실수. 부호가 +에서 −로 바뀌는 β가 극대다.
실수 포인트 ② : g(β)를 넓이 합 A+B로 계산하는 실수. g는 축 아래 구간(0~α)을 −A로 세야 하므로 g(β)=−A+B.
실수 포인트 ③ : g(γ)에서 마지막 구간을 +C로 더하는 실수. (β, γ)에서 f<0이므로 ∫βγf=−C=−16. 부호 하나로 답이 12에서 벗어난다.
정답 : ① (g(α)−g(γ)=12)