문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
좌변은 x∫1xf(t)dt로 먼저 정리한다. x는 t 적분에 대해 상수라 밖으로 나온다. 이렇게 정리해야 다음 스텝(대입·미분)이 편해진다.
◀ 피적분함수의 x는 적분 밖으로 먼저 정리
양변에 x=1을 넣으면 ∫11(…)dt=0이 되어 적분항이 전부 사라진다. 남는 건 상수 항등식 0=1+½a+½ → a=−3. ∫1x 꼴을 보면 'x=1 대입으로 적분 지우기'를 먼저 떠올려라.
◀ ∫1x → x=1 대입하면 적분=0, 상수만 남음
양변 미분: 좌변 x∫1xf의 곱미분은 ∫1xf(t)dt+xf(x), 우변 ∫1xtf(t)dt의 미분은 xf(x). 같은 xf(x)가 양쪽에 생겨 소거! ∫1xf(t)dt=3x2+ax만 남는다. 소거를 예상하고 정리하면 실수가 준다.
◀ 좌우에 같은 xf(x) 발생 → 소거
∫1xf(t)dt=3x2+ax를 미분하면 f(x)=6x+a=6x−3. 구하는 건 f(a)=f(−3)=6·(−3)−3=−21. a가 함수식의 계수이자 대입값으로 두 번 쓰이는 구조에 주의.
◀ a는 '계수'이자 '대입값', 두 역할을 한다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 하한이 상수 1인 ∫1x가 보이면 x=1 대입으로 적분항을 통째로 0으로 만들어 a부터 구한다. 이어 양변을 미분하면 좌우의 xf(x)가 소거되어 ∫1xf(t)dt=3x2+ax가 남고, 한 번 더 미분하면 f(x)가 직접 나온다.
실수 포인트 ① : x=1 대입을 놓치고 곧장 미분만 하려는 실수. 상수 a는 대입이 훨씬 빠르다.
실수 포인트 ② : 미분할 때 좌변 x∫1xf의 곱미분을 빠뜨려 xf(x)를 못 만들면 소거가 안 된다. 곱미분을 정확히 하라.
실수 포인트 ③ : 구하는 게 f가 아니라 f(a)=f(−3)임을 잊고 f(x)=6x−3에서 멈추는 실수. a=−3을 대입해 −21이 최종 답이다.
정답 : ② (f(a)=f(−3)=−21)