문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
∫₁ˣf(t)dt형 등식은 두 방향으로 공략한다. (1) x=1, x=0을 대입해 미지수 a를 잡고, (2) 양변을 미분해 f(x)를 구한다. 한쪽만으로는 안 끝난다. 대입은 상수를, 미분은 함수를 준다 — 역할이 다르다.
◀ 대입으로 미지수, 미분으로 함수식, 둘을 병행
원식에 x=1을 넣으면 ∫₁¹f(t)dt=0이라 적분이 사라져 f(1)=4a+2. x=0을 넣으면 ∫₁⁰=−∫₀¹(구간 뒤집기 부호!)라 0=3a−∫₀¹f(t)dt, 즉 ∫₀¹f(t)dt=3a. 대입할 x는 적분 끝값(1)과 계산이 편한 값(0)을 노려라.
◀ 대입값은 적분 끝값과 0을 우선 후보로
문제가 굳이 준 조건 f(1)=∫₀¹f(t)dt는 두 표현을 같게 놓으라는 신호. 4a+2=3a → a=−2. 그 뒤 양변 미분으로 f'(x)=6x−4, f(x)=3x²−4x+C. 앞서 얻은 f(1)=−6을 넣어 C=−5까지 잡으면 f(x)=3x²−4x−5가 완성된다.
◀ 문장으로 주어진 조건은 반드시 등식으로 번역해 쓴다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ∫₁ˣf(t)dt가 든 등식은 대입과 미분 두 무기를 함께 써야 풀린다. x=1을 넣어 적분을 0으로 죽이면 f(1)=4a+2, x=0을 넣으면 구간 뒤집기 부호를 거쳐 ∫₀¹f(t)dt=3a. 여기에 문제 조건 f(1)=∫₀¹f(t)dt를 얹으면 4a+2=3a로 a=−2가 나온다. a를 잡은 뒤 양변 미분으로 f(x)를 완성한다.
실수 포인트 ① : x=0 대입에서 ∫₁⁰을 그대로 두는 실수. ∫₁⁰=−∫₀¹로 구간을 뒤집으며 부호를 바꿔야 한다. 이 부호 하나가 답을 가른다.
실수 포인트 ② : a만 구하고 f(3)을 안 구하는 실수. 문제는 a+f(3)을 묻는다. 양변 미분 → f(x)=3x²−4x+C, f(1)=−6으로 C=−5까지 가야 f(3)=10이 나온다.
실수 포인트 ③ : 적분상수 C를 빠뜨려 f(x)=3x²−4x로 끝내는 실수. f(1)=−6 조건으로 C=−5를 반드시 결정하라.
정답 : ④ (a+f(3)=−2+10=8)