문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
적분으로 정의된 함수는 두 정보를 공짜로 준다. ① 위끝=아래끝이면 값 0이니 g(−1)=0. ② 미적분의 기본정리로 g′(x)=f(x). f가 최고차항 1인 이차함수이므로 g는 최고차항 1/3인 삼차함수다. 적분식을 보면 이 세 가지부터 적어라.
◀ 적분정의 함수는 g(끝)=0과 g′=f를 반드시 챙겨라
limx→1 g(x)/(x−1)=2에서 분모 (x−1)→0인데 극한값이 유한(2)하다. 그러면 분자도 반드시 0으로 가야 하니 g(1)=0. 이건 ‘0/0 꼴을 강제로 만드는’ 극한의 필수 스킬이다. 이제 g는 x=−1과 x=1을 두 근으로 갖는다.
◀ 분모가 0인데 극한이 존재 → 분자도 0, 이건 공식처럼 써라
삼차함수 g는 근 −1, 1을 가지므로 g(x)=1/3(x+1)(x−1)(x−a)(a는 나머지 근). g/(x−1)에서 (x−1)을 약분하고 x→1을 넣으면 1/3·2·(1−a)=2 → a=−2. g′=f로 f(x)=x²+4/3x−1/3, f(4)=16+16/3−1/3=21.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : g(x)=∫−1xf(t)dt를 보면 g(−1)=0(위끝=아래끝)과 g′(x)=f(x)(기본정리)가 즉시 나온다. f가 최고차항 1인 이차함수이므로 g는 최고차항 1/3인 삼차함수. 극한 조건이 g(1)=0을 추가로 주므로 g는 근 −1, 1을 갖는 인수분해 꼴로 쓰고, (x−1)을 약분해 a를 구한 뒤 g′=f로 f(4)를 얻는다.
실수 포인트 ① : g의 최고차항 계수를 1로 두는 실수. f′가 아니라 f를 적분한 g는 차수가 하나 올라가고, 최고차항 계수는 새 차수로 나뉜다. x²을 적분하면 1/3x³이므로 g의 최고차항 계수는 1/3이다.
실수 포인트 ② : lim g(x)/(x−1)=2에서 곧장 값을 대입하려는 실수. 분모가 0으로 가므로 분자 g(1)=0이 먼저다. 이 필요조건을 놓치면 인수 (x−1)을 만들지 못해 약분이 막힌다.
실수 포인트 ③ : 약분 후 1/3(x+1)(x−a)에 x=1을 넣을 때 앞의 1/3과 (x+1)→2를 빠뜨리고 (1−a)=2로만 푸는 실수. 정확히 1/3·2·(1−a)=2 → 1−a=3 → a=−2다. f(4)=4²+4/3·4−1/3=21.
정답 : 21