문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
정적분 ∫01 f(t)dt, ∫01 g(t)dt는 적분구간이 0~1로 고정된 숫자(상수)다. A=∫01f, B=∫01g로 놓는 순간 f(x)=20x+B, g(x)=30x²+Ax라는 구체적인 식이 튀어나온다. 적분기호에 겁먹지 말고 이름부터 붙여라.
◀ 적분구간이 상수면 그 정적분값도 상수 — 문자로 치환이 1번
이름만 붙이고 끝이 아니다. A=∫01(20t+B)dt=10+B, B=∫01(30t²+At)dt=10+1/2A처럼 실제로 계산하면 A, B에 대한 방정식 두 개가 생긴다. A−B=10, A−2B=−20 → A=40, B=30. 정의로 돌아가 다시 적분하는 이 왕복이 핵심이다.
◀ 치환→적분→방정식, 이 3단 왕복이 이 유형의 뼈대
∫01{f(t)+g(t)}dt=∫01f+∫01g=A+B. 앞에서 이미 A=40, B=30을 구했으니 답은 70. 문제가 묻는 게 사실은 처음에 치환한 A+B 그 자체임을 알아채면 마지막 계산이 덧셈 한 번으로 끝난다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 정적분 ∫01f(t)dt, ∫01g(t)dt는 적분구간이 고정된 상수라는 한 문장이 문제 전체를 연다. A, B로 치환하면 f, g가 구체적 다항식이 되고, 이를 정의식에 다시 넣어 적분하면 A, B에 대한 연립방정식이 완성된다. 구하라는 ∫{f+g}는 A+B라서 연립만 풀면 답이 나온다.
실수 포인트 ① : ∫01g(t)dt를 x가 든 함수로 착각하는 실수. 적분변수는 t이고 구간이 숫자라서 결과는 x와 무관한 상수다. g(x)의 x∫01f 부분에서 ∫는 Ax의 A(상수)일 뿐이다.
실수 포인트 ② : B=∫01(30t²+At)dt를 적분할 때 At의 1/2를 빠뜨려 B=10+A로 쓰는 실수. ∫01t dt=1/2라서 B=10+1/2A가 맞다. 이 1/2 하나가 A, B값을 전부 틀리게 만든다.
실수 포인트 ③ : A=40, B=30까지 구한 뒤 f(t)+g(t)를 다시 통째로 적분하려다 시간을 버리는 실수. 구하는 값은 A+B 그 자체이므로 40+30=70으로 곧장 끝내라.
정답 : 70