문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
(나) f(−x)=f(x)는 y축 대칭, (다) f(1−x)=f(1+x)는 직선 x=1 대칭. 대칭축이 둘이면 두 축 간격(1)의 2배가 주기가 된다. 실제로 (다)에 x대신 x+1을 넣으면 f(−x)=f(x+2), 여기에 (나) f(−x)=f(x)를 대입하면 f(x)=f(x+2) → 주기 2.
◀ 대칭축 2개 = 주기함수, 주기 = 축 간격 × 2
주기가 2이므로 구간 [−n, n](길이 2n)에는 주기가 정확히 n개 들어간다. 따라서 ∫−nn f dx = n × ∫−11 f dx. n은 미지수로 남겨둔 채 한 주기 적분값만 계산하면 끝난다. 주기함수 정적분의 정석.
◀ 주기함수 정적분 = (한 주기 적분) × (주기 개수)
f는 짝함수라 ∫−11 f = 2∫01 f. 이 구간에서만 f=x²+1이므로 2∫01(x²+1)dx = 2(1/3+1) = 8/3. 그러면 (8/3)n = 16 → n=6. f=x²+1은 [0,1]에서만 쓸 수 있다는 점을 절대 잊지 마라.
◀ 짝함수는 ∫−11 = 2∫01 로 반만
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 대칭조건을 각각 ‘그래프 성질’로 번역한다. y축 대칭 + 직선 x=1 대칭 = 대칭축 2개 = 주기 2. 여기까지 오면 길이 2n인 구간이 주기 n개로 쪼개져 계산이 산수로 바뀐다.
실수 포인트 ① : (다) f(1−x)=f(1+x)를 그냥 y축 대칭으로 착각하는 실수. 이건 직선 x=1에 대한 대칭이다. 축을 1로 정확히 읽어야 주기 2가 나온다.
실수 포인트 ② : f=x²+1이 전 구간에서 성립한다고 착각해 ∫−nn(x²+1)로 계산하는 실수. 이 식은 [0,1]에서만 유효하다.
실수 포인트 ③ : ∫−11 f = 8/3인데 짝함수 2배를 빠뜨려 4/3으로 잘못 계산 → n=12로 오답(④). 짝함수 배수를 꼭 챙겨라.
정답 : ② (n=6)