문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
조건 (가) 0<a<b 어디서나 ∫|f|=∫f. 절댓값 씌운 적분과 원래 적분이 같다는 건 그 구간에서 |f(x)|=f(x), 즉 f(x)≥0이라는 뜻이다. 임의의 a,b에서 성립하므로 x>0 전체에서 f(x)≥0. 절댓값이 ‘벗겨진다’는 건 부호가 안 바뀐다는 신호다.
◀ ∫|f|=∫f ⟺ 그 구간에서 f≥0
조건 (나) c<d<0에서 ∫|f|>∫f. |f|의 적분이 더 크다는 건 그 구간 어딘가 f(x)<0이라 절댓값이 값을 키운다는 뜻. 여기에 최고차 양수·연속을 합치면 x<0에서 f(x)≤0. x>0은 f≥0, x<0은 f≤0, 게다가 삼차함수는 연속이므로 f(0)=0 (ㄱ 참).
◀ ∫|f|>∫f ⟺ 그 구간에 f<0 부분 존재
ㄴ에서 α>0, f(α)=0. x>0에서 f≥0인데 값이 0이 되는 점이면 그 점은 최솟값(접점)이라 x축을 뚫지 못하고 접한다. 접점=중근이므로 f′(α)=0 (ㄴ 참). ㄷ은 반례: x<0에서 f≤0을 지키면서 극대점 β와 극소점 γ가 둘 다 음수쪽에 놓이는 개형이 가능해, f′(γ)=0인 γ가 (β,0)에 있을 수 있다 (ㄷ 거짓).
◀ 부호가 안 바뀌는 영역의 근 = 접점 = 중근
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 이 문제의 열쇠는 ‘적분식을 부호조건으로 번역’하는 것이다. ∫|f|=∫f는 그 구간에서 f≥0, ∫|f|>∫f는 그 구간에 f<0인 부분이 있다는 뜻. (가)는 x>0에서 f≥0을, (나)는 x<0에서 f≤0을 말해준다. 삼차함수는 연속이라는 사실을 얹으면 f(0)=0이 곧바로 나온다.
실수 포인트 ① : ㄴ에서 ‘f(α)=0이니 그냥 근’이라고만 보고 f′(α)=0을 놓치는 실수. f≥0인 영역에서 값이 0이 되면 그건 x축을 뚫는 단순근이 아니라 접하는 중근이다. 접점에서는 항상 f′=0.
실수 포인트 ② : ㄷ을 참으로 착각하는 실수. ‘β가 음수인 극점이면 그 왼쪽에 또 극점이 있다’는 보장은 없다. x<0에서 f≤0만 지키면 극대·극소 두 극점이 모두 음수 구간에 들어오는 개형이 가능하다. 반례 하나면 거짓이다.
실수 포인트 ③ : (나)의 부등호를 등호로 착각해 x<0에서도 f≥0으로 잘못 놓는 실수. 부등호(>)는 반드시 음수 부분의 존재를 뜻한다. 등호였다면 f≥0이지만, 부등호라 f≤0(음수부 존재)이다.
정답 : ③ (ㄱ, ㄴ)