문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
절댓값이 곱해진 함수는 안의 식이 0인 x=a를 경계로 부호가 갈린다. x<a면 |x−a|=−(x−a)라 f(x)=−(x−1)(x−a), x≥a면 f(x)=(x−1)(x−a). 두 이차식 조각으로 나눠 그래프를 그리는 게 시작이다.
◀ x=a 왼쪽은 위로 볼록, 오른쪽은 아래로 볼록 조각이 된다
극대는 −(x−1)(x−a) 조각(위로 볼록)의 꼭짓점에서 생긴다. 그 꼭짓점 x좌표는 두 근 1과 a의 중점 (a+1)/2. 미분할 필요 없이 근의 중점이 곧 꼭짓점이다. 이 x를 대입한 값이 극댓값.
◀ 이차식 꼭짓점은 두 근의 평균 — 미분보다 빠르다
f((a+1)/2)=(a−1)²/4=1 → (a−1)²=4 → a=3 또는 a=−1. 조건 a>1로 a=3만 살아남는다. 상수가 정해지면 f(x)=(x−1)|x−3|이고, 정적분은 x=3을 경계로 두 조각으로 나눠 계산해 4/3.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 절댓값을 벗겨 조각함수로 만든 뒤, 극대가 위로 볼록 조각의 꼭짓점에서 나온다는 걸 잡는다. 꼭짓점 x좌표는 두 근 1, a의 중점 (a+1)/2. 여기 대입한 극댓값=1로 a를 결정하고, 정적분은 x=3을 경계로 두 구간으로 나눈다.
실수 포인트 ① : 극대 위치를 찾겠다고 곧장 미분하는 실수. 이차식 조각의 꼭짓점은 두 근의 평균 (a+1)/2로 즉시 나온다.
실수 포인트 ② : (a−1)²=4에서 a=−1까지 답으로 쓰는 실수. a>1 조건 때문에 a=3만 유효하다.
실수 포인트 ③ : 정적분을 한 식으로 통째 계산하는 실수. x=3에서 부호가 바뀌므로 ∫₀³{−(x−1)(x−3)}dx + ∫₃⁴(x−1)(x−3)dx로 나눠서 적분해야 한다.
정답 : ② (4/3)